La pregunta pregunta qué es [math] | \ vec {\ mathbf {v}} | \ cdot \ vec {\ mathbf {v}} [/ math] si [math] \ vec {\ mathbf {v}} [/ math ] es un vector.
Si el vector dado es
[matemáticas] \ quad \ vec {\ mathbf {v}} = a \ hat {i} + b \ hat {j} + c \ hat {k} [/ math]
entonces la magnitud de [math] \ vec {\ mathbf {v}} [/ math] es
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[matemáticas] \ quad | \ vec {\ mathbf {v}} | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2} [/ matemáticas]
La dirección de [math] \ vec {\ mathbf {v}} [/ math] es el vector unitario
[matemáticas] \ quad \ dfrac {\ vec {\ mathbf {v}}} {| \ vec {\ mathbf {v}} |} [/ math]
Si multiplica [math] \ vec {\ mathbf {v}} [/ math] con un escalar [math] p> 0 [/ math], entonces tiene
[matemáticas] \ quad p \ vec {\ mathbf {v}} = pa \ hat {i} + pb \ hat {j} + pc \ hat {k} [/ math]
La magnitud de [math] p \ vec {\ mathbf {v}} [/ math] es
[matemáticas] \ quad | p \ vec {\ mathbf {v}} | = \ sqrt {p ^ 2a ^ 2 + p ^ 2b ^ 2 + p ^ 2c ^ 2} = p \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2} = p | \ vec {\ mathbf {v}} | [/ math]
que es [math] p [/ math] multiplicado por la magnitud de [math] \ vec {\ mathbf {v}} [/ math].
La dirección de [math] p \ vec {\ mathbf {v}} [/ math] es el vector unitario
[matemáticas] \ quad \ dfrac {p \ vec {\ mathbf {v}}} {| p \ vec {\ mathbf {v}} |} = \ dfrac {\ vec {\ mathbf {v}}} {| \ vec {\ mathbf {v}} |} [/ math]
que puede ver es la misma que la dirección de [math] \ vec {\ mathbf {v}} [/ math].
Para poner esto en palabras, lo que vemos es que cuando multiplica un vector con cualquier escalar positivo, obtiene un nuevo vector en la misma dirección pero con una magnitud que es el producto del escalar y la magnitud del vector original.
Entonces, cuando multiplica un vector con su magnitud, obtiene un nuevo vector en la misma dirección pero con una magnitud que es el cuadrado de la magnitud del vector original.
Cuando sustituye [math] p = | \ vec {\ mathbf {v}} | [/ math], obtenemos la magnitud de [math] | \ vec {\ mathbf {v}} | \ cdot \ vec {\ mathbf {v}} [/ math] es
[matemáticas] \ quad \ left || \ vec {\ mathbf {v}} | \ cdot \ vec {\ mathbf {v}} \ right | = | \ vec {\ mathbf {v}} | ^ 2 [/ math ]
y su dirección es el vector unitario
[matemáticas] \ quad \ dfrac {\ vec {\ mathbf {v}}} {| \ vec {\ mathbf {v}} |} [/ math]
que es lo mismo que la dirección de [math] \ vec {\ mathbf {v}} [/ math].