¿Cómo se puede expresar el rectángulo abierto [matemáticas] (0,1) \ veces (0,1) \ subseteq \ Bbb R ^ 2 [/ matemáticas] como una unión de discos abiertos?

Answer 1

Para cada punto [math] (x, y) \ in (0,1) \ times (0,1) [/ math], elija un número [math] \ epsilon (x, y)> 0 [/ math] small suficiente para que el disco abierto centrado en [math] (x, y) [/ math] con radio [math] \ epsilon (x, y) [/ math] esté contenido en el cuadrado [math] (0,1) \ times (0,1) [/ matemáticas]. Si lo desea, puede elegir

[matemáticas] \ epsilon (x, y) = \ min \ {x, y, 1-x, 1-y \} [/ matemáticas]

Entonces [math] (0,1) \ times (0,1) [/ math] es la unión de los discos

[matemáticas] (0,1) \ times (0,1) = \ bigcup _ {(x, y) \ in (0,1) \ times (0,1)} D _ {\ epsilon (x, y)} ( x, y) [/ matemáticas]

donde [math] D_ \ epsilon (x, y) [/ math] denota el disco de radio [math] \ epsilon [/ math] centrado en [math] (x, y) [/ math].

De manera más general, el mismo argumento muestra que cualquier conjunto abierto en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] es una unión de discos, donde la existencia del número [math] \ epsilon (x, y)> 0 [/ math] que funciona está esencialmente garantizado por la definición de un conjunto abierto.

No hay forma de que puedas cubrir el cuadrado abierto con solo un número finito de discos, por lo que esta construcción no es tan exagerada como parece.

Answer 2

¿Cómo se puede expresar el rectángulo abierto (0,1) × (0,1) ⊆R2 [matemática] (0,1) × (0,1) ⊆R2 [/ matemática] como una unión de discos abiertos?

Debe tener cierta superposición: los discos disjuntos dejarán al descubierto una red de curvas. La forma más fácil sería trabajar por etapas. En la etapa [matemática] n [/ matemática] cubrimos el disco con [matemática] n ^ 2 [/ matemática] discos adicionales con diámetro [matemático] 1 / n [/ matemático] y centros [matemático] (\ frac {i- 0.5} n, \ frac {j-0.5} n) [/ math] donde [math] i [/ math] y [math] j [/ math] son ​​enteros que van desde [math] 0 [/ math] a [math ] n [/ matemáticas].