¿Es cierto que [math] \ tan (x)> x [/ math] para todos [math] 0 <x <\ frac {\ pi} {2} [/ math]?

Sí, a menos que desee hacer [math] tan (x) ≈x [/ math] para valores muy pequeños de x.

Prueba simple:

Considere un círculo unitario. Construya una tangente BD perpendicular al eje x. Construya un segmento de línea AC y extiéndalo hasta que se cruce con la tangente en D. AC = AB = 1

Este segmento AC forma el ángulo α (por ahora) con un eje X positivo (α está en radianes). La longitud de la tangente BD al usar trigonometría es [matemática] 1 × tan (α). [/ Matemática] Ahora, puede ver fácilmente en el diagrama para [matemática] 0 <α <\ frac {π} {2} [/ matemáticas]:

Área de ΔABD> Área del sector ABC

[matemática] \ frac {1} {2} × BD × AB> \ frac {1} {2} × (AC) ² × α [/ matemática]

Al poner los valores, obtenemos

[matemáticas] tan (α)> α [/ matemáticas]

tan x> x es equivalente a
tan x – x> 0.
Deja por lo tanto
f (x) = tan x – x.
Queremos mostrar que f (x)> 0 en (0, pi / 2).
Está claro que f (0) = 0, y por el teorema del valor medio se obtiene para cualquier b en (0, pi / 2) y para algo de z en (0, b),
f (b) – f (0) = f ‘(z) (b – 0),
que es equivalente a
f (b) = f ‘(z) * b.
Como f ‘(z) = (1-cos ^ 2 (x)) / cos ^ 2 (x)> 0 para todas las z en (0, pi / 2), f (b) debe ser mayor que cero en (0 , pi / 2), ya que el RHS anterior es un producto de dos números positivos.

Los valores de x en el rango de 0 a pi / 2 están en el primer cuadrante, donde x e y son positivos. Así, tanto sin (x) como cos (x) también son positivos. Y dado que tan (x) se define como la razón de sin (x) y cos (x) …

Si. Comienzan en 0 y la derivada de tan (x) es mayor que 1. Por lo tanto, la diferencia tan (x) -x está aumentando.

Si. Por favor mira la foto. El obtendrá la respuesta.

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