Queremos encontrar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la función f (x) [math] = \ log (1 – \ log x). [/ Math]
Paso 1: determinar el dominio de la función.
Hay un término [math] \ log x [/ math] en la función.
[math] \ Rightarrow \ qquad x> 0. [/ math]
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Hay un término [math] \ log (1 – \ log x) [/ math] en la función.
[math] \ Rightarrow \ qquad 1 – \ log x> 0. [/ math]
[matemática] \ Rightarrow \ qquad \ log x <1 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x <e. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad 0 <x <e. [/ math]
Paso 2: Obtenga la segunda derivada de la función.
f (x) [matemáticas] = \ log (1 – \ log x). [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad f ‘(x) = – \ frac {1} {x (1- \ log x)}. [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad f ” (x) = – \ frac {\ log x} {x ^ 2 (1- \ log x) ^ 2}. [/ math]
Paso 3: Determine los puntos donde la segunda derivación es [matemática] 0. [/ Matemática]
[matemáticas] f ” (x) = – \ frac {\ log x} {x ^ 2 (1- \ log x) ^ 2} = 0. [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ qquad \ log x = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x = 1. [/ math]
En [matemáticas] x = 1, f (x) = 0. [/ matemáticas] Este es un punto de inflexión de la función.
Paso 4: Verifique los puntos donde la función no está definida.
La función no está definida para [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = e. [/ Matemáticas] Sin embargo, estos puntos no están en el dominio de la función.
Paso 4: Divida el dominio de la función en intervalos con los puntos donde la segunda derivada desaparece y donde la función no está definida como límites y descubra el signo de la segunda derivada de la función en estos intervalos.
Obtenemos los intervalos [matemática] (0,1] [/ matemática] y [matemática] [1, e). [/ Matemática]
Tome un punto [math] x = \ frac {1} {e} \ in (0,1] [/ math] y [math] x = \ frac {e} {2} \ in [1, e). [ /matemáticas]
[matemáticas] f ” (\ frac {1} {e}) = – \ frac {\ log \ frac {1} {e}} {\ left (\ frac {1} {e} \ right) ^ 2 ( 1- \ log \ frac {1} {e}) ^ 2} = \ frac {e ^ 2} {4}> 0. [/ Math]
[matemáticas] f ” (\ frac {e} {2}) = – \ frac {\ log \ frac {e} {2}} {\ left (\ frac {e} {2} \ right) ^ 2 ( 1- \ log \ frac {e} {2}) ^ 2} = – \ frac {4 (1- \ log 2)} {e ^ 2 (\ log 2) ^ 2} <0. [/ Math]
La función es cóncava hacia abajo en el intervalo donde la segunda derivada es negativa y cóncava hacia arriba en el intervalo donde es positiva.
[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] La función tiene solo un punto de inflexión y está en [math] (1,0). [/ math] La función es cóncava en el intervalo [math] (0,1 ] [/ math] y es cóncava hacia abajo en el intervalo [math] [1, e). [/ math]