Si [math] \ tan \ theta + \ cot \ theta = 2 [/ math], entonces ¿qué es [math] \ sin \ theta + \ cos \ theta [/ math]?

Bueno, sabemos que [math] \ tan \ theta = \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} [/ math] y [math] \ cot \ theta = \ dfrac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} [/ math].

Entonces

[matemáticas] 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ tan \ theta + \ cot \ theta \\ = \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} + \ dfrac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} \\ = \ dfrac {\ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta} {\ cos \ theta \ sin \ theta} \\ = \ dfrac { 1} {\ cos \ theta \ sin \ theta} [/ math]

desde [math] \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1 [/ math] (teorema de Pitágoras).

Entonces tenemos

[matemáticas] \ sin \ theta \ cos \ theta = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Ok, pero la pregunta se refiere a [matemáticas] \ sin \ theta + \ cos \ theta [/ matemáticas], no a [matemáticas] \ sin \ theta \ cos \ theta [/ matemáticas].

No hay problema…

[matemáticas] (\ sin \ theta + \ cos \ theta) ^ 2 = \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta + 2 \ sin \ theta \ cos \ theta [/ math]

[matemáticas] = 1 + 2. \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 [/ matemáticas]

Y ahí está la respuesta.

[matemáticas] \ sin \ theta + \ cos \ theta = \ pm [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Si bien todas las demás soluciones han utilizado un enfoque directo para esto, hay otra forma de hacerlo.

Suponga [matemáticas] \ theta \ en [0, 2 \ pi) [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que [math] \ tan \ theta = \ frac {1} {\ cot \ theta} [/ math], por lo que ambas funciones tienen el mismo signo. Por lo tanto, tanto [math] \ tan \ theta [/ math] como [math] \ cot \ theta [/ math] son ​​positivos.

Por AM-GM, tenemos [math] \ frac {\ tan \ theta + \ cot \ theta} {2} \ geq \ sqrt {\ tan \ theta \ cot \ theta} = 1 [/ math], entonces [math ] \ tan \ theta + \ cot \ theta \ geq 2 [/ math], con igualdad en [math] \ tan \ theta = \ cot \ theta [/ math]. Por lo tanto, tenemos [matemáticas] \ theta = \ frac {\ pi} {4}, \ frac {3 \ pi} {4} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ sin \ theta + \ cos \ theta = \ pm \ sqrt {2} [/ math].

Usemos las formulaciones x, yr. Lo dado se convierte

[matemáticas] \ dfrac {y} {x} + \ dfrac {x} {y} = 2 \ Rightarrow {x ^ 2} + {y ^ 2} = 2xy \ Rightarrow {(x – y) ^ 2} = 0 [/matemáticas].

Entonces

[matemáticas] \ dfrac {y} {x} + \ dfrac {x} {y} = 2 \ Rightarrow {x ^ 2} + {y ^ 2} = 2xy \ Rightarrow {(x – y) ^ 2} = 0 [/matemáticas].

Entonces [matemáticas] x = y [/ matemáticas] y [matemáticas] {r ^ 2} = 2 {x ^ 2} [/ matemáticas], de donde [matemáticas] \ dfrac {x} {r} = \ dfrac {1 } {{\ pm \ sqrt 2}} [/ math]

La búsqueda es [matemáticas] \ dfrac {y} {r} + \ dfrac {x} {r} = \ dfrac {{2x}} {r} = \ pm \ sqrt 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ tan \ theta + \ cot \ theta & = 2 \\ \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} + \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta } & = 2 \\ \ dfrac {\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta} {\ sin \ theta \ cos \ theta} & = 2 \\ \ dfrac {1} {\ sin \ theta \ cos \ theta} & = 2 && \ text {porque} \ \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 \\ \ sin \ theta \ cos \ theta & = \ frac {1} {2} \\ 2 \ sin \ theta \ cos \ theta & = 1 \\ \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta + 2 \ sin \ theta \ cos \ theta & = 2 && \ text {agregar} \ \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta \ \ text {a ambos lados} \\ (\ sin \ theta + \ cos \ theta) ^ 2 & = 2 \\ \ sin \ theta + \ cos \ theta = \ pm {\ sqrt2} \ end {align} [/ math]

Vi que Marc te dio un método numérico. Veamos cómo podemos resolver esto si no tiene ángulos de uso común.

[matemáticas] \ tan \ theta + \ cot \ theta = \ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} + \ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} = \ frac {\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta} {\ cos \ theta \ sin \ theta} = \ frac {1} {\ sin \ theta \ cos \ theta} [/ math].

Como [matemáticas] \ sin \ theta \ cos \ theta = \ frac {1} {2} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 2 \ sin \ theta \ cos \ theta + \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 2 = (\ sin \ theta + \ cos \ theta) ^ 2 [/ math].

Por lo tanto, [math] \ sin \ theta + \ cos \ theta = \ pm \ sqrt 2 [/ math]. Y estas dos respuestas corresponden a 45 grados y 225 grados.

[matemáticas] \ tan \ theta + \ cot \ theta = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta} + \ dfrac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta} {\ cos \ theta \ sin \ theta} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {\ cos \ theta \ sin \ theta} = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin \ theta \ cos \ theta = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sin \ theta + \ cos \ theta = x [/ matemáticas] (let)

Cuadrando ambos lados,

[matemáticas] (\ sin \ theta + \ cos \ theta) ^ 2 = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta + 2 \ sin \ theta \ cos \ theta = x ^ 2 [/ matemáticas]

Sustituyendo el valor de [math] \ sin \ theta \ cos \ theta [/ math],

[matemáticas] 1 + 2. \ dfrac {1} {2} = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 + 1 = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] \ boxed {\ sin \ theta + \ cos \ theta = \ sqrt {2}} [/ math]

Tan + cuna = 2

tan + 1 / tan = 2

(tan pow 2 +1) / tan = 2

tan pow 2 + 1 = 2 tan

tan pow 2 – 2 tan +1 = 0

(tan – 1) pow 2 = 0

tan – 1 = 0

tan = 1

theta = 45

sin theta + cos theta = 2 / raíz (2) = (2 raíz 2) / 2 = raíz 2


tan + cot = 2

sin / cos + cos / sin = 2

(sin pow 2 + cos pow 2) / Sin cos = 2

1 = 2 Sin Cos

1 = Sin2x

x = 45

Sinx + cosx = 2 / raíz (2) = (2 raíz 2) / 2 = raíz 2


tanx + cotx = 2

sinx / cosx + cosx + sinx = 2

(sen x pow 2 + cosx pow 2) / sinx cosx = 2

sen x pow 2 – 2 Sin x cosx + cosx pow 2 = 0

(sinx – cosx) pow 2 = 0

sinx = cosx

x = 45

sinx + cosx = raíz (2)

Si s / c + c / s = 2

(s² + c²) / sc = 2

1 = 2sc

(s + c) ² = 1 + 2sc = 1 + 1 = 2

s + c = ± √2

sqrt (2)

el ángulo es de 45 grados, donde tan y cot son ambos 1 y sin y cos son ambos 1 / sqrt (2)

More Interesting

Cómo resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas] en la expresión [matemáticas] \ sqrt {3x + 2} + \ sqrt {2x-1} = 6 [/ matemáticas]

Cómo resolver [matemáticas] (-2) ^ x = -4 [/ matemáticas] para soluciones complejas

¿Cuál es el valor mínimo de a ^ 2 + b ^ 2?

¿Cuál es el valor más pequeño de la función [matemática] f (x) = x + \ dfrac {16} {x-2} + 1 [/ matemática] para [matemática] x> 2 [/ matemática]?

Cómo demostrar la desigualdad [matemáticas] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {3} {4} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdots \ frac {2n-1} {2n} \ leq \ frac {1} {\ sqrt {3n + 1}} [/ math] [math] \ forall n \ in \ mathbb {N} [/ math]

¿Cuál es la mejor aproximación del número PI como una razón de dos números x / y?

Cuando los números se escriben en la base b, tenemos 15 * 22 = 414, ¿cuál es el valor de b?

¿Qué pasaría si nunca hubiéramos inventado el concepto de 0?

Cómo probar (sin computadora) la desigualdad: [matemáticas] \ sqrt [9] {502} + \ sqrt [502] 9> 3 [/ matemáticas]

Cómo simplificar la expresión [matemáticas] \ sqrt {1- \ cos x}

¿Qué significa la relación de mezcla 1: 2: 3?

Cómo integrar log [{1-x} ^ 1/2 + {1 + x} ^ 1/2] con límites de 0 a 1

¿Hay enteros distintos por pares [matemática] (x, y, z [/ matemática]) y un número primo impar [matemática] p [/ matemática] tal que [matemática] p [/ matemática] divide ambos [matemática] x + y + z [/ math] y [math] 1 - xyz? [/ math]

Cómo resolver para encontrar x si [matemáticas] x ^ x = 27 [/ matemáticas]

¿Cuál es la solución de [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 2} {x + 1} \, \ mathrm {dx} [/ math]?