¿Por qué 0 ^ 0 = 1? Entiendo el enfoque de usar x ^ x y encontrar el límite cuando x se acerca a 0, pero ¿por qué no podemos usar el límite de 0 ^ x cuando x se acerca a 0? Si lo hacemos, entonces encontramos que 0 ^ 0 = 0.

Answer 1

Aquí hay muchas respuestas que son muy difíciles de entender y algunas son totalmente erróneas.

Antes de comenzar a discutir sobre [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática], debe pensar cuidadosamente sobre POR QUÉ parece desconcertante. Sospecho que la razón es que solo está pensando en la operación [math] a ^ b [/ math] para valores enteros de [math] a, b [/ math]. Ese es el verdadero problema cuando comienzas a tratar de hablar sobre los límites. No puede restringir su definición de [matemáticas] a ^ b [/ matemáticas] a números enteros, debe considerar los números reales.

La forma más común de definir [matemática] a ^ b [/ matemática] cuando no se trata solo de enteros es [matemática] \ exp (b \ log a) [/ matemática]. Esta definición funciona para valores reales de [matemática] a, b [/ matemática] siempre que [matemática] a> 0 [/ matemática]. También funciona para valores complejos de [matemática] a, b [/ matemática] siempre que [matemática] a \ ne 0 [/ matemática]. Esta idea de extenderse a argumentos complejos es crítica como veremos.

Usando esta definición, vemos de inmediato que para valores reales de [math] x> 0 [/ math],

[matemáticas] x ^ x = \ exp (x \ log x) [/ matemáticas]

Entonces tiene sentido considerar el límite como [matemática] x \ a 0 ^ + [/ matemática]. El límite como [matemática] x \ a 0 ^ – [/ matemática] no existe ya que la función de registro natural con valor real no está definida para argumentos no positivos.

El examen cuidadoso de la función [matemáticas] \ exp (x \ log x) [/ matemáticas] como [matemáticas] x \ a 0 ^ + [/ matemáticas] revela que el límite es uno. Entonces, hay alguna justificación para definir [math] 0 ^ 0 [/ math] como uno.

La razón por la que su idea de mirar el límite de [matemáticas] 0 ^ x [/ matemáticas] como [matemáticas] x \ a 0 ^ + [/ matemáticas] no funciona es que [matemáticas] 0 ^ x [/ matemáticas ] no está bien definido usando la definición [matemáticas] a ^ b = \ exp (b \ log a) [/ matemáticas]. Eso no quiere decir que no podamos usar una definición diferente de [matemática] a ^ b [/ matemática] que permita [matemática] a = 0 [/ matemática]. Pero si lo hacemos, entonces la definición simplemente no será lo suficientemente consistente como para permitirnos obtener un límite de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] como [matemáticas] x \ a 0 ^ + [/ matemáticas].

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Si está interesado en un análisis complejo, resulta que el límite de [matemáticas] z \ log z [/ matemáticas] como [matemáticas] z \ a 0 [/ matemáticas] no existe. Escribí una respuesta explicando por qué recientemente:

La respuesta de Michael Lamar a ¿Cuál es el límite de [matemática] z \ log z [/ matemática] como [matemática] z \ a 0 [/ matemática] para la compleja función de logaritmo natural de valores múltiples?

Debido a que el límite no existe en el dominio complejo y a que la forma habitual de definir [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] se extiende inmediatamente al dominio complejo, creo que a menudo no es tan útil molestarse en tratar de definir [matemáticas] 0 ^ 0 [/ math] será 1 (o 0 o cualquier otro valor). Si tuviera que definirlo, creo que la mayoría de la gente estaría de acuerdo en que elegir el valor 1 es la opción más útil, pero su utilidad es ciertamente limitada.

Answer 2

Me parece que se deduce de la estructura de las pocas bases numéricas con las que he trabajado (Binario, Oct, Dic, Hex, AlZ) que siempre será la unidad básica, de cada base numérica, y que las representadas por cualquier base que estemos usando a la potencia de cero. Si nuestra base es 80, 40, 26, 16, 10, 8, 4 o 2, su columna se llena con C * BASE ^ 0 como en los siguientes casos:
BINARIO
0, 01, 10, 11, 100
4-s 2-s 1-s
0 * 10 ^ 10 + 0 * 10 ^ 1 + 0 * 10 ^ 0 = 0 bin
0 * 10 ^ 10 + 0 * 10 ^ 1 + 1 * 10 ^ 0 = 1 bin
0 * 10 ^ 10 + 1 * 10 ^ 1 + 0 * 10 ^ 0 = 10 bin
0 * 10 ^ 10 + 1 * 10 ^ 1 + 1 * 10 ^ 0 = 11 bin
1 * 10 ^ 10 + 1 * 10 ^ 1 + 1 * 10 ^ 0 = 111 bin
OCTALO
64-s 8-s 1-s
0 * 10 ^ 2 + 0 * 10 ^ 1 + 0 * 10 ^ 0 = 0 oct
0 * 10 ^ 2 + 0 * 10 ^ 1 + 1 * 10 ^ 0 = 1 oct
0 * 10 ^ 2 + 0 * 10 ^ 1 + 2 * 10 ^ 0 = 2 oct
0 * 10 ^ 2 + 0 * 10 ^ 1 + 3 * 10 ^ 0 = 3 oct
1 * 10 ^ 2 + 2 * 10 ^ 1 + 3 * 10 ^ 0 = 123 oct
7 * 10 ^ 2 + 7 * 10 ^ 1 + 7 * 10 ^ 0 = 777 oct
DECIMAL
100 s 10 s 1 s
0 * 10 ^ 2 + 0 * 10 ^ 1 + 0 * 10 ^ 0 = 0 dec.
0 * 10 ^ 2 + 0 * 10 ^ 1 + 1 * 10 ^ 0 = 1 dec.
0 * 10 ^ 2 + 0 * 10 ^ 1 + 2 * 10 ^ 0 = 2 dec.
0 * 10 ^ 2 + 0 * 10 ^ 1 + 2 * 10 ^ 0 = 3 dec.
1 * 10 ^ 2 + 2 * 10 ^ 1 + 3 * 10 ^ 0 = 123 dec.
9 * 10 ^ 2 + 9 * 10 ^ 1 + 9 * 10 ^ 0 = 999 dec.
Solo estoy tratando de señalar que la columna de las unidades aquí con su ubicación natural entre los poderes de -1 y los poderes menores que están a su izquierda, y los poderes de 1 y mayores a la derecha, usa los de cada base y si x ^ 0 no fue igual a uno, ¿cómo representaríamos los unos? Para mí, la ecuación y = x ^ 0 es definitivamente continua y definitivamente lo suficientemente suave como para ser una curva, y no tiene salidas dobles. Si el efecto de la acción de los operadores sobre cualquier número, independientemente de su magnitud, es reducirlo a 1, cuando se considera todo, tiene sentido mantener este efecto de acciones en línea cuando se aplica a cero. Y el límite cuando x se acerca a 0 de x ^ 0 es 1. El límite de 0 ^ x cuando x se acerca a 0 desde la derecha puede ser cero. Pero, ¿cuál es el límite cuando x se acerca a 0 desde la izquierda? Hay discontinuidad en 0 ^ x si dice 0 ^ 0 = 0 Y hay discontinuidad en todos los demás casos n ^ x donde x = 0 si dice n ^ 0 = 0, lo cual no es cierto y lo que no sería conveniente Si fuera.

Answer 3

No, 0 ^ 0 no existe y no puede ser igual a 1, porque esto es equivalente a la división 0/0, que está prohibida en matemática-aritmética básica. Esto se debe a que 0 es el único número con la propiedad 0 = -0, por eso se le llama aditivo neutral. La división por 0 no está permitida porque introduce muchas contradicciones lógicas que imposibilitan realizar las operaciones más simples, por ejemplo, deje que sea un número cualquiera: a * 0 = 0, por lo tanto, si la división por 0 es correcta, lo haremos tener:

a = 0/0 = 1, por lo tanto, todos los números se reducirán a 1, lo cual es claramente falso.

Answer 4

Los límites ni siquiera deberían considerarse para explicar la razón por la cual [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas].

Este es el error más grande que cometen las personas al argumentar en contra del dilema [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Dicen: mira, [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0} f (x) ^ {g (x)} [/ math] tiene valores variables, o no existe, dependiendo de varias opciones de funciones [math ] f (x) [/ math] y [math] g (x) [/ math] cuyos límites son cero cuando [math] x [/ math] se acerca a [math] 0 [/ math].

La verdad es que podría hacer lo mismo para otras funciones. Por ejemplo, tome [math] \ lfloor x \ rfloor, [/ math] la función de piso. Claramente [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ lfloor x \ rfloor [/ math] no existe, [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0 [ / math] y [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 [/ math]. ¿Dejamos el valor de [math] \ lfloor 0 \ rfloor [/ math] indefinido debido a esto? No, definimos [math] \ lfloor 0 \ rfloor = 0 [/ math]. Y, aparentemente, este no es un tema controvertido en absoluto; Nunca me han preguntado por qué [matemáticas] \ lfloor 0 \ rfloor = 0 [/ matemáticas] en toda mi vida.

Con eso fuera del camino, he aquí por qué [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Considere el polinomio [math] p (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_1x + a_0 [/ math]. Claramente [matemáticas] p (0) = a_0 [/ matemáticas].

Ahora reescriba [math] p (x) [/ math] de la manera equivalente [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n a_kx ^ k [/ math]. ¿Qué es [math] p (0) [/ math] ahora? Es [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n a_k0 ^ k [/ math], y esto es igual a [math] a_0 [/ math] solo si [math] 0 ^ 0 = 1 [/ math ] En otras palabras, [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] no puede ser otro valor que no sea [matemática] 1 [/ matemática] .

Al igual que elegimos [math] 0! [/ Math] para que sea igual a [math] 1 [/ math] porque nos conviene hacerlo, elegimos [math] 0 ^ 0 = 1 [/ math] para Nuestra conveniencia también. La diferencia es que [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas] no es tan controvertido como [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. No tengo ni idea de porqué. (Bueno, en realidad sí: la función factorial es discreta, mientras que los exponentes no lo son).

Larga historia corta: la forma limitante [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] y el valor [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] son ​​dos cosas completamente diferentes. La primera es una forma indeterminada, la segunda es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Al igual que la forma limitante [math] \ lfloor 0 \ rfloor [/ math] es una forma indeterminada, y el valor [math] \ lfloor 0 \ rfloor [/ math] es [math] 0 [/ math].

Answer 5

Realmente no deriva el valor de [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas], es más como una convención que los matemáticos han acordado porque funciona:

• el valor de la suma vacía se define como [math] 0 [/ math],
• el valor del producto vacío se define como [math] 1 [/ math].

[matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] se trata como el producto vacío.

(Y funciona porque las expresiones vacías se convierten así en los elementos neutros de la operación aritmética respectiva: [matemática] 0 [/ matemática] para la suma, [matemática] 1 [/ matemática] para la multiplicación).

Answer 6

[matemáticas] x ^ {0} = x ^ {aa} = \ frac {x ^ {a}} {x ^ {a}} = 1 [/ matemáticas]

donde a! = 0 yx! = 0

vamos a expresar x como [matemáticas] lim_ {b-> 0} (b) [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] x ^ {0} = x ^ {aa} = \ frac {(lim_ {b-> 0} (b)) ^ {a}} {(lim_ {b-> 0} (b)) ^ { a}} = 1 [/ matemáticas]

y es igual a 1 en cada punto cualquiera que sea un poco, el valor de b difiere de 0.

No soy matemático, pero puedo sugerir el siguiente truco divertido:

Vamos a expresar x como f (x) = x

Entonces x / x = f (x) / f (x)

en un punto de x = 0 aplicamos la regla de L’Hospital y tenemos un:

x / x = f (x) / f (x) = f ‘(x) / f’ (x) = 1/1 = 1

de lo contrario, debemos considerar que y (x) = x no es continuo en x = 0

🙂

Answer 7

Porque no lo hace . 0 ^ 0 no está definido. Ni siquiera en términos de límite, ya que debe proporcionar la función para poder hablar sobre el límite. En cuanto a la paradoja, te daré un ejemplo de cómo debe resolverse:

A: ¿Qué es 0 ^ 0?
B: No está definido. Convencionalmente , consideramos que es 1.

R: Pero mientras el límite x ^ x (x → 0+) = límite x ^ 0 (x → 0) = 1, también hay un límite 0 ^ x (x → 0) que es igual a 0.

B: Eso es cierto, acabo de decir “convencionalmente”, lo que significa que las matemáticas no tomaron una postura y permanecieron constantes e indemnes; lo hicimos, por conveniencia.

Answer 8

Voy a ser vago. Mira este video:

Answer 9

Como dicen en Quora, antes de preguntar “por qué”, pregunte “si”.

Answer 10

No es. De hecho, 0 ^ 0 no está definido. Parte de su pregunta explica parcialmente el problema de por qué no hay forma de definir consistentemente 0 ^ 0.