‘ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d’ es un polinomio de tercer grado, pero ‘ax ^ 3 + bx ^ 1.5’ es un polinomio de grado infinito, ¿por qué es eso?

Los polinomios son un tipo de función simple y agradable. Son simples porque se pueden expresar de manera sistemática. Un grado [matemático] d [/ matemático] polinomial (para [matemático] d \ in \ mathbb N [/ matemático]) viene dado por:

[matemáticas] p_d (x) = a_0 + \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ d a_k x ^ k [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que aunque la función proporciona una respuesta (generalmente) diferente para diferentes valores de [math] x \ in \ mathbb R [/ math], no necesitamos tanta información para describir la función. No necesitamos una lista incontable de pares ordenados [math] (x, p_d (x)) [/ math] para describir la función, solo necesitamos los coeficientes [math] d + 1 [/ math] [math] ( a_0, a_1, \ ldots, a_d) [/ math]. Eso es un ahorro bastante bueno.

Nos gustan los polinomios por una variedad de razones, algunas de las cuales son profundamente matemáticas (como su estructura algebraica) mientras que otras son simples y prácticas (como el hecho de que pueden evaluarse con un número relativamente pequeño de adiciones y multiplicaciones).

Una razón por la que los polinomios son útiles es que pueden usarse para aproximar otras funciones más complicadas. El primer ejemplo de esta idea que la mayoría de la gente ve es la serie Taylor (aunque también existen otras series polinómicas que a veces son más útiles). Ciertas funciones, incluidas la mayoría de las que ha visto un estudiante de cálculo temprano, tienen una representación de la serie Taylor. La serie Taylor describe una secuencia de polinomios de grado creciente que mejoran constantemente las aproximaciones para la función en cuestión. Si trunca la serie Taylor después de un número finito de términos, comete un error. Cuantos más términos pueda mantener, menor será el error. El precio que paga por mantener más términos (suponiendo que existan), por supuesto, es que el polinomio que obtiene es de mayor grado. Eso significa que se necesitarán más multiplicaciones y adiciones para evaluarlo.

Entonces, ahora puedo responder a tu pregunta:

[matemática] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemática] es, de hecho, un polinomio de grado tres.

[math] ax ^ 3 + bx ^ {1.5} [/ math] no es un polinomio.

Sin embargo, para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ {1.5} [/ matemáticas] tiene una representación de la serie Taylor. Entonces puedo encontrar una secuencia de polinomios que converja a [matemáticas] x ^ {1.5} [/ matemáticas] a medida que el grado va al infinito. Por lo tanto, no es una locura pensar en [matemáticas] x ^ {1.5} [/ matemáticas] (y, por lo tanto, [matemáticas] ax ^ 3 + bx ^ {1.5} [/ matemáticas]) como un polinomio de grado infinito a pesar de que el término no es bastante consistente con la idea habitual de polinomios y grado.

Ahora para el punto más interesante …

Dijimos que lo bueno de su polinomio, [math] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ math], es que podemos “comprimir” todo el mapeo hasta la secuencia finita de números [math] (a_0 = d, a_1 = c, a_2 = b, a_3 = a) [/ matemática]. Todo lo relacionado con la relación entre [matemática] x [/ matemática] y [matemática] f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemática] está contenido en estos números [matemáticos] 4 [/ matemáticos] : [matemáticas] a, b, c, d [/ matemáticas].

Lo que realmente preguntas cuando preguntas sobre un “grado infinito” es: “¿Por qué no puedo comprimir la función [matemáticas] g (x) = ax ^ 3 + bx ^ {1.5} [/ matemáticas] de la misma manera ? ”¿Por qué se necesita una secuencia infinita (por ejemplo, los coeficientes de su serie Taylor) para representarla en lugar de una secuencia finita de solo números [matemáticos] 3 [/ matemáticos] como con la otra función? La razón tiene que ver con el álgebra lineal.

Y antes de que te decepciones demasiado, debes reconocer que incluso con la secuencia infinita, aún tienes un gran ahorro. En general, para especificar una función, [math] g [/ math], desde [math] \ mathbb R [/ math] a [math] \ mathbb R [/ math], debe especificar un número incontable de pares [math ] (x, g (x)) [/ matemáticas]. Pero debido a que [math] ax ^ 3 + bx ^ {1.5} [/ math] es una “buena función” (es decir, tiene una serie de Taylor con buen comportamiento), no necesitamos una cantidad incontable de información para describirla, podemos escapar con un conjunto de coeficientes mucho más pequeño, contable . Pasar de lo incontable a lo contable representa una enorme “compresión”. Y todas las funciones que tienen una serie de Taylor que se comportan bien permiten este tipo de “compresión” de incontable a contable. Pero solo los polinomios verdaderos permiten que la compresión pase de incontable a finita cuando usamos polinomios para representar la función.

Por supuesto, los polinomios no son la única forma de representar funciones más complicadas usando series. Podemos usar senos y cosenos (que conducen a la serie de Fourier). Podemos usar otras funciones como registros y exponenciales y otras funciones trigonométricas y funciones de raíces y gamma y así sucesivamente. Y, cuando podemos usar una de estas funciones especiales, como es el caso de su función, [math] g [/ math], (donde podemos usar raíces), podemos escribir la función de una manera que sea mucho más comprimido que incluso el conjunto contable de coeficientes en la serie Taylor.

Si estas ideas son interesantes para usted, definitivamente debería estudiar álgebra lineal. Y tenga en cuenta que muchos “primeros cursos” en álgebra lineal se detienen JUSTO al punto de hablar sobre estas ideas, por lo que es posible que necesite un segundo curso que analice espacios dimensionales infinitos.

Los polinomios se construyen con suma, resta y multiplicación comenzando con constantes y variables. Pero [math] x ^ {1.5} [/ math] no se puede crear de esa manera. No es un polinomio.

Las funciones racionales se construyen con suma, resta, multiplicación y división comenzando con constantes y variables. Pero [math] x ^ {1.5} [/ math] no se puede crear de esa manera. No es una función racional.

Sin embargo, es una función algebraica ya que las funciones algebraicas incluyen, entre otras cosas, raíces cuadradas, y [matemáticas] x ^ {1.5} [/ matemáticas] puede expresarse con la ayuda de raíces cuadradas. Es igual a [math] \ sqrt {x ^ 3} [/ math].

Además, es una función analítica, lo que significa que puede expresarse como una serie de potencias. En cierto sentido, una serie de potencia es un polinomio de “grado infinito”.

En primer lugar, no podemos tener fracción como potencia de variable en polinomio .

De acuerdo con la definición de polinomio … los polinomios son de grado finito (excepto el caso de infinito negativo , ya que tratamos f (x) = 0 es con grado de infinito negativo ) … no se puede decir que la expresión sea polinómica cuando el grado es infinito.

Este último no es un polinomio. No hay polinomio de “grado infinito”.

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