¿Cuál es el valor de [matemáticas] \ suma \ límites_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ cos nA} {n} [/ matemáticas]?

Es agradable. La suma es convergente por la prueba de Dirichlet, siempre que A no sea un múltiplo entero de [math] 2 \ pi [/ math].

Para una fórmula específica, al menos adivinaría lo siguiente. Para [matemáticas] | t | <1 [/ matemáticas] uno tiene

[matemáticas] \ sum_ {k \ geq 1} \ frac 1k t ^ k = – \ ln (1-t). [/matemáticas]

Con un poco de extensión, esto debería ser aplicable a los complejos [math] | t | = 1, ~ t \ neq 1 [/ math], con la rama principal de la función logaritmo.

Si lo aplicamos a [matemáticas] t = e ^ {\ pm i A} [/ matemáticas], entonces por la fórmula de Euler obtenemos

[matemáticas] \ sum_ {k \ geq 1} \ frac 1k \ cos (kA) = – \ frac 12 (\ ln (1-e ^ {iA}) + \ ln (1-e ^ {- iA})) = – \ frac 12 \ ln (2–2 \ cos (A)) [/ math]

[matemáticas] = – \ ln | 2 \ sin \ frac {A} {2} |. [/matemáticas]

Hay detalles que aún deben resolverse, pero parece correcto.

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