Decidí dibujar las gráficas de y = x e y = cos (x)
Claramente, solo hay una intersección:
Al acercarnos un poco, vemos que la solución es de aproximadamente 0,73
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Voy a inventar una fórmula iterativa simple para acercar la solución a donde se cruzan las gráficas de y = cos (x) e y = x.
Obviamente se cruzan cuando x = cos (x), por lo que la pequeña fórmula iterativa será simplemente:
Comenzando con X1 = 0.73
entonces X2 = cos (0.73) ≈ 0.745
entonces X3 = cos (0.745) ≈ 0.73497
entonces X4 = cos (0.73497) ≈ 0.74185
entonces X5 = cos (0.74185) ≈ 0.73722
¡Seguimos buscando el coseno de la última respuesta en una calculadora!
Esto pronto llega al escenario donde obtenemos:
X45 = cos (0.7390851336) ≈ 0.739085133
X46 = cos (0.739085133) ≈ 0.7390851334
X47 = cos (0.7390851334) ≈ 0.7390851331
X48 = cos (0.7390851331) ≈ 0.7390851333
X49 = cos (0.7390851333) ≈ 0.7390851332
Entonces, simplemente presionando “cos” continuamente tenemos la respuesta a 10 decimales.
Obviamente, esta es una convergencia bastante lenta, pero manualmente es bastante rápida porque todo lo que estoy haciendo es presionar el “cos” de la respuesta anterior.
¡El siguiente diagrama muestra la convergencia maravillosamente!
¡El método Newton-Raphson convergerá muy rápidamente, pero hacerlo manualmente me llevó más tiempo que mi método iterativo “ad hoc”!
La fórmula de Newton Raphson es
En este caso, necesito considerar la función y = f (x) = x – cos (x)
La fórmula de Newton-Raphson se convierte en:
Comenzando con el mismo valor x que en mi método “ad hoc”, obtuve lo siguiente:
Si X1 = 0.73
X2 = 0.7391035328
X3 = 0.7390851348
X4 = 0.7390851332
X5 = 0.7390851332 por lo que ya ha convergido correctamente a 10 decimales
A continuación se muestra la gráfica de y = f (x), por lo que la solución de f (x) = 0 es el punto donde la gráfica cruza el eje x en x = α.
Este diagrama muestra cómo el proceso iterativo de Newton – Raphson se acerca a la solución de la ecuación f (x) = 0.
La primera aproximación es X1.
Dibuja una línea vertical desde X1 hasta la curva que se encuentra en el punto A.
Se extrae una tangente de A que se encuentra con el eje X en el segundo
aproximación X2
Dibuja una línea vertical desde X2 hasta la curva que se encuentra en el punto B.
Se extrae una tangente de B que se encuentra con el eje X en la tercera
aproximación X3
Dibuja una línea vertical desde X3 hasta la curva que se encuentra en el punto C.
Se extrae una tangente de C que se encuentra con el eje X en el cuarto
aproximación X4
Este proceso continúa hasta que la aproximación se considere lo suficientemente cercana a la solución X = α