Si [matemáticas] x + y + z = xyz [/ matemáticas], entonces ¿cómo puedo probar que [matemáticas] x (1-y ^ 2) (1-z ^ 2) + y (1-z ^ 2) ( 1-x ^ 2) + z (1-x ^ 2) (1-y ^ 2) = 4xyz [/ matemáticas]?

La expresión se evalúa como [matemática] 4xyz [/ matemática] si [matemática] x = y = z [/ matemática] o [matemática] xyz = 0. [/ Matemática]

Considerando [matemáticas] x, y, z \ neq 0 [/ matemáticas], divida la expresión entre [matemáticas] 4xyz. [/ Matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {(1-y ^ {2}) (1-z ^ {2})} {2y \ cdot2z} + \ dfrac {(1-z ^ {2}) (1-x ^ {2})} {2z \ cdot2x} + \ dfrac {(1-x ^ {2}) (1-y ^ {2})} {2x \ cdot2y} = 1. [/ Math]

Sustituya [matemática] x = \ tan (\ alpha) [/ matemática], [matemática] y = \ tan (\ beta) [/ matemática] y [matemática] z = \ tan (\ gamma) [/ matemática], donde [matemáticas] \ alpha, \ beta, \ gamma [/ matemáticas] son ​​los ángulos de un triángulo.

Usa la identidad,

[matemáticas] \ tan (2 \ theta) = \ dfrac {2 \ tan (\ theta)} {1- \ tan ^ {2} (\ theta)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {1} {\ tan (2 \ beta) \ tan (2 \ gamma)} + \ dfrac {1} {\ tan (2 \ alpha) \ tan (2 \ gamma)} + \ dfrac {1} {\ tan (2 \ alpha) \ tan (2 \ beta)} = 1 [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ tan (2 \ alpha) + \ tan (2 \ beta) + \ tan (2 \ gamma) = \ tan (2 \ alpha) \ tan (2 \ beta) \ tan (2 \ gamma) [/matemáticas]

que se desprende del hecho de que

[matemáticas] 2 \ alpha + 2 \ beta + 2 \ gamma = 2 \ pi [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan (2 \ alpha + 2 \ beta + 2 \ gamma) = \ tan (2 \ pi) = 0. [/ matemáticas]

Avísame si me perdí algo.

Si x + y + z = xyz

=> y + z = xyz – x

=> y + z = x (yz -1)

=> x = (y + z) / (yz – 1)

Ahora, suponga que y = 2, z = 3 => x = 5/5 = 1

Si y = 7, z = 3 => x = (7 + 3) / (21–1) = 1/2

De esta manera, reemplaza y & z por cualquier valor, obtenemos un valor para x.

=> Hay infinitos tripletes, de modo que el producto de tres números = su suma.

Solo se descarta el triplete (1,1,1).

Ahora, al poner cualquier conjunto de valores, podemos probar la declaración requerida …

Como si x = 1/2, y = 7, z = 3

Entonces, LHS =

x (1-y²) (1-z²) + y (1-z²) (1-x²) + z (1-x²) (1-y²)

= 1/2 (1–49) (1–9) + 7 (1–9) (1– 1/4) +3 (1–1 / 4) (1–49)

= (1/2 * -48 * -8) + (7 * -8 * 3/4) + (3 * 3/4 ​​* -48)

= 192 -42-108

= 192 – 150

= 42

= 4 * 1/2 * 7 * 3

= 4xyz

= RHS

[Por lo tanto probado]

[matemáticas] x (1-y ^ 2) (1-z ^ 2) + y (1-z ^ 2) (1-x ^ 2) + z (1-x ^ 2) (1-y ^ 2) [/matemáticas]

[matemáticas] = x (1 + y ^ 2z ^ 2-y ^ 2-z ^ 2) + y (1 + z ^ 2x ^ 2-z ^ 2-x ^ 2) + z (1 + x ^ 2y ^ 2-x ^ 2-y ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x + xy ^ 2z ^ 2-xy ^ 2-z ^ 2x) + (y + yz ^ 2x ^ 2-yz ^ 2-x ^ 2y) + (z + zx ^ 2y ^ 2-zx ^ 2-y ^ 2z) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x + y + z) + xyz (xy + yz + zx) -xy (x + y) -yz (y + z) -zx (z + x) [/ matemáticas]

[Sustituyendo [matemáticas] xyz [/ matemáticas] con [matemáticas] (x + y + z) [/ matemáticas]]

[matemáticas] = (x + y + z) + (x + y + z) (xy + yz + zx) -xy (x + y) -yz (y + z) -zx (z + x) [/ matemáticas ]

[matemáticas] = (x + y + z) + xy (x + y + z) + yz (x + y + z) + zx (x + y + z) -xy (x + y) -yz (y + z) -zx (z + x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x + y + z) + 3xyz [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4xyz [/ matemáticas]

Solo lo estoy asumiendo por aquí. Veamos.

La pregunta dice x + y + z = xyz … lo que significa que x, y y z son números cuya suma y producto son iguales, ¿no?
Entonces, hasta donde yo sé de matemáticas, la única combinación es

“1,2 y 3”

Vamos a revisar.

Suponga que x = 1, y = 2 y z = 3 (también puede tomarlo de otra manera, quiero decir x = 3, y = 2 y z = 1). Estoy considerando la combinación anterior.

Ahora para esto – → x (1 − y2) (1 − z2) + y (1 − z2) (1 − x2) + z (1 − x2) (1 − y2) = 4xyz

LHS = x (1 − y2) (1 − z2) + y (1 − z2) (1 − x2) + z (1 − x2) (1 − y2)

= 1 (1–2 ^ 2) (1–3 ^ 2) +2 (1–3 ^ 2) (1–1 ^ 2) +3 (1–1 ^ 2) (1–2 ^ 2)

= 1 (1–4) (1–9) +2 (1–9) (1–1) +3 (1–1) (1–4)

= 1 (-3) (- 8) +2 (-8) (0) +3 (0) (- 3)

= 1 (24) + 0 + 0

= 24

Ahora, RHS = 4xyz

= 4 (1) (2) (3)

= 24

Desde arriba está claro que LHS = RHS

Por lo tanto, se demuestra que

x (1 − y2) (1 − z2) + y (1 − z2) (1 − x2) + z (1 − x2) (1 − y2) = 4xyz

HENCE PROPORCIONADO

(Espero que lo entiendas :))

Período

Condición dada:

[matemáticas] x + y + z = xyz [/ matemáticas]

[matemáticas] LHS = x (1-y ^ 2) (1-z ^ 2) + y (1-z ^ 2) (1-x ^ 2) + z (1-x ^ 2) (1-y ^ 2) = (x-xy ^ 2) (1-z ^ 2) + (y-yz ^ 2) (1-x ^ 2) + (z-zx ^ 2) (1-y ^ 2) = (x -xz ^ 2-xy ^ 2 + xy ^ 2z ^ 2) + (y-yx ^ 2-yz ^ 2 + x ^ 2yz ^ 2) + (zy ^ 2z-zx ^ 2 + x ^ 2y ^ 2z) = x + y + z + (- xz ^ 2 + x ^ 2yz ^ 2-x ^ 2z) + (- xy ^ 2-yx ^ 2 + x ^ 2y ^ 2z) + (xy ^ 2z ^ 2-y ^ 2z- yz ^ 2) = (x + y + z) + xz (-z + xyz-x) + xy (-y-x + xyz) + yz (xyz-yz) = (x + y + z) + xz ( xyz-xz) + xy (xyz-xy) + yz (xyz-yz) = xyz + xyz + xyz + xyz = 4xyz = RHS [/ matemática]

Cheque:

  • Sea x = 1, y = 2 entonces por [matemáticas] x + y + z = xyz [/ matemáticas]: z = 3

Ahora, pongamos los valores en LHS:

[matemáticas] LHS = x (1-y ^ 2) (1-z ^ 2) + y (1-z ^ 2) (1-x ^ 2) + z (1-x ^ 2) (1-y ^ 2) = 1 (1-2 ^ 2) (1-3 ^ 2) +2 (1-3 ^ 2) (1-1 ^ 2) +3 (1-1 ^ 2) (1-2 ^ 2) = 24 * 0 * 0 = 24 [/ matemáticas]

[matemáticas] RHS = 4xyz = 4 * 1 * 2 * 3 = 24 [/ matemáticas]

Por lo tanto demostrado !!

¡¡Feliz aprendizaje!!

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