Si [matemática] 2 ^ {100} [/ matemática] tiene [matemática] 31 [/ matemática] dígitos, ¿cuántos dígitos tiene [matemática] 5 ^ {100} [/ matemática]?

10 ^ n de potencia

Si uno encontrara el número de dígitos para [matemática] 10 ^ n [/ matemática] entonces no sería difícil ver que obtiene [matemática] n + 1 [/ matemática] dígitos (un sistema de base 10 cambia por potencias de 10, así que esto se espera)

Para responder directamente a su pregunta

Usando [math] 2 ^ {100} [/ math] para calcular directamente los dígitos de [math] 5 ^ {100} [/ math] podría simplemente multiplicar los dos números para obtener [math] 10 ^ {100}. [/ math] Debido a que sabemos cuántos dígitos nos da esto, debe ser que los dígitos para [math] 5 ^ n [/ math] son ​​70 ya que tenemos (31 dígitos) (? dígitos) = 101 dígitos. Puede tratar la multiplicación de dígitos como sumar para obtener los dígitos resultantes más altos posibles (por lo que un número de 2 dígitos por un número de 3 dígitos puede proporcionarle un número de 5 dígitos y no más)

Un enfoque general que se ve genial

Una forma interesante de pensar en el problema es reduciéndolo a un problema más simple.

Ahora [matemáticas] 5 ^ n [/ matemáticas] no es algo fácil de pensar de inmediato. Claramente, habrá menos dígitos en comparación con nuestro caso de 10, pero ahora tenemos el problema de que los múltiplos n darán la misma cantidad de dígitos (en matemáticas, decimos que ya no es uno a uno)

¿Qué tal si convertimos esto a nuestro caso 10? Observe [matemáticas] 10 ^ {log_ {10} 5 ^ n} [/ matemáticas] y ¡podemos ver la respuesta! Y sí, esto es matemáticamente lo mismo que [matemáticas] 5 ^ n [/ matemáticas] pero tiene una forma familiar.

¿Cuántos dígitos para esto? Es solo el material en el exponente más 1. Necesitamos agregar algo llamado una marca de “piso” porque el registro puede dar respuestas decimales, y no tiene sentido tener 0.123 de un dígito.

Por lo tanto, nuestro resultado es [math] \ lfloor log_ {10} 5 ^ n \ rfloor + 1 [/ math]

Este es un enfoque general que es interesante de estudiar porque puedes hacerlo con cualquier número arbitrario, ¡pruébalo!

En el final

70 dígitos es la respuesta en ambos sentidos. Todos los que dicen 69 no cuentan el dígito principal por alguna razón. La prueba que utilizó Trevor Cheung es realmente agradable y matemáticamente sólida, ¡definitivamente estudiaría y recomendaría su respuesta también!

El número de dígitos en la representación decimal de [matemática] 10 ^ n [/ matemática] es [matemática] (n + 1) [/ matemática]. Esto es igual a [matemáticas] 1+ \ log_ {10} (10 ^ n) [/ matemáticas]. En general, el número de dígitos en la representación decimal de [matemática] x [/ matemática] es [matemática] 1+ \ lfloor \ log_ {10} x \ rfloor [/ matemática].

Me estás diciendo que [matemáticas] 2 ^ {100} [/ matemáticas] tiene [matemáticas] 31 [/ matemáticas] dígitos. Entonces [matemáticas] 1+ \ lfloor \ log_ {10} 2 ^ {100} \ rfloor = 31 [/ matemáticas]. Como [math] \ log_ {10} (2 ^ {100}) = 100 \ log_ {10} 2 [/ math], tenemos [math] \ lfloor 100 \ log_ {10} 2 \ rfloor = 30 [/ math ]

Además, [math] \ log_ {10} 2+ \ log_ {10} 5 = \ log_ {10} (2 \ times 5) = 1 [/ math], entonces [math] \ log_ {10} 2 = 1- \ log_ {10} 5 [/ matemáticas]. Así

[matemáticas] \ lfloor 100 (1- \ log_ {10} 5) \ rfloor = 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lfloor 100-100 \ log_ {10} 5 \ rfloor = 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] 100+ \ lfloor-100 \ log_ {10} 5 \ rfloor = 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lfloor-100 \ log_ {10} 5 \ rfloor = -70 [/ matemáticas]

[math] \ lfloor 100 \ log_ {10} 5 \ rfloor = 69 [/ math] (por ejemplo, [math] \ lfloor -1.2 \ rfloor = -2 [/ math] pero [math] \ lfloor 1.2 \ rfloor = 1 [/ matemáticas].)

El número de dígitos de [math] 5 ^ {100} [/ math] es [math] 1+ \ lfloor \ log_ {10} (5 ^ {100}) \ rfloor = 1 + \ lfloor 100 \ log_ {10 } 5 \ rfloor = 1 + 69 = 70 [/ math].

Tenga en cuenta que [math] 5 ^ {100} [/ math] tiene [math] n [/ math] dígitos si y solo si [math] 10 ^ {n-1} <5 ^ {100} <10 ^ n [/ matemáticas]; de manera más general, [matemática] N [/ matemática] tiene [matemática] n [/ matemática] dígitos si y solo si [matemática] 10 ^ {n-1} \ le N <10 ^ n [/ matemática].

Como [math] 2 ^ {100} [/ math] tiene [math] 31 [/ math] dígitos, también tenemos [math] 10 ^ {30} <2 ^ {100} <10 ^ {31} [/ math ]

Multiplicar los dos conjuntos de desigualdades da

[matemáticas] 10 ^ {n + 29} <10 ^ {100} <10 ^ {n + 31} [/ matemáticas].

Se deduce que [matemáticas] 100 = n + 30 [/ matemáticas], y que [matemáticas] n = 70 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

De la información dada, sabemos

[matemáticas] \ displaystyle 10 ^ {30} <2 ^ {100} <10 ^ {31} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 30 <100 \ log 2 <31 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 30 <100 \ log \ left (\ frac {10} 5 \ right) <31 \ tag * {} [/ math]

[matemática] \ displaystyle 30 <100-100 \ log 5 <31 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle 70> 100 \ log 5> 69 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 10 ^ {69} <5 ^ {100} <10 ^ {70} \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces tiene 70 dígitos.

Si 2 ^ 100 tiene 31 dígitos, ¿cuántos dígitos tiene 5 ^ 100?

Puede descubrir esto con bastante facilidad utilizando la calculadora de Microsoft en Windows.

Ingrese [math] 5x ^ y100 [/ math] y le dará la respuesta [math] 7.8886090522101180541172856528279e + 69 [/ math]

El exponente muestra que hay 69 dígitos.

2 ^ 100 = 10 ^ 30.10,

5 ^ 100 = 10 ^ (1–0.3010) 100 = 10 ^ 69.9 → 70 dígitos

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