Cómo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ \ pi ^ 2} {6}

Asumamos una función, [matemática] f (x) = x ^ {2}, 0 <x <2 \ pi [/ matemática]

A continuación, ampliamos esta función en una serie de Fourier, considerando que el período es [math] 2 \ pi [/ math].

Por lo tanto, por la serie de Fourier, (ya que esto satisface la condición de Dirichlet)
[matemáticas] f (x) = \ dfrac {a_0} {2} + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigg (a_ {n} cos (\ frac {n \ pi x} {L }) + b_ {n} sin (\ frac {n \ pi x} {L}) \ bigg) [/ math]

Aquí, punto = [matemática] 2L = [/ matemática] [matemática] 2 \ pi [/ matemática] y por lo tanto, [matemática] L = \ pi [/ matemática]. Por lo tanto, al escribir la expresión para [math] a_ {n}, [/ math] obtenemos: (considerando c = 0, solo por el cálculo)

[matemáticas] a_ {n} = \ dfrac {1} {L} * \ displaystyle \ int_ {c} ^ {c + 2L} f (x) * cos (\ frac {n \ pi x} {L}) dx [/matemáticas]

[math] = \ dfrac {1} {\ pi} * \ displaystyle \ int_ {0} ^ {2 \ pi} x ^ 2 * cos (nx) dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ pi} \ Bigg (x ^ 2 \ frac {sin (nx)} {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] -2x \ frac {-cos (nx)} {n ^ 2} + 2 \ frac {-sin (nx)} {n ^ 3} \ Bigg) \ Bigg | _0 ^ {2 \ pi} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {4} {n ^ 2} [/ matemáticas]

Para [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] a_ {0} = \ dfrac {1} {\ pi} * \ displaystyle \ int_ {0} ^ {2 \ pi} x ^ 2dx = \ dfrac { 8 \ pi ^ 2} {3} [/ matemáticas]

Al escribir la expresión para [math] b_n [/ math], obtenemos: (considerando c = 0, solo por el cálculo)

[matemáticas] b_ {n} = \ dfrac {1} {L} * \ displaystyle \ int_ {c} ^ {c + 2L} f (x) * sin (\ frac {n \ pi x} {L}) dx [/matemáticas]

[math] = \ dfrac {1} {\ pi} * \ displaystyle \ int_ {0} ^ {2 \ pi} x ^ 2 * sin (nx) dx [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ pi} \ bigg (x ^ 2 \ frac {-cos (nx)} {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] -2x \ frac {-sin (nx)} {n ^ 2} + 2 \ frac {cos (nx)} {n ^ 3} \ bigg) \ Bigg | _0 ^ {2 \ pi} [/ math ]

[matemáticas] = \ dfrac {-4 \ pi} {n} [/ matemáticas]

Por lo tanto, combinando todo el escenario en la ecuación de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] para [matemáticas] 0 <x <2 \ pi: [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = x ^ 2 = \ dfrac {4 \ pi ^ 2} {3} + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigg (\ dfrac {4} {n ^ 2} cos (\ frac {n \ pi x} {\ pi}) – \ dfrac {4 \ pi} {n} sin (\ frac {n \ pi x} {\ pi}) \ bigg) [/ math]

Ahora, dado que [math] x = 0 [/ math] es un punto de discontinuidad, entonces, por la Condición de Dirichlet:
“La serie converge a [matemáticas] \ dfrac {f (x + 0) + f (x-0)} {2} [/ matemáticas] si x es un punto de discontinuidad”
es decir, la serie converge a [matemáticas] \ dfrac {0 + 4 \ pi ^ 2} {2} [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] 2 \ pi ^ 2 [/ matemáticas]

Usando esta fórmula, poniendo [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], llegamos a:

[matemáticas] 2 \ pi ^ 2 = \ dfrac {4 \ pi ^ 2} {3} + \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigg (\ dfrac {4} {n ^ 2} \ bigg) [/ math] es decir (Cambio de lados en la ecuación)

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ bigg (\ dfrac {1} {n ^ 2} \ bigg) = \ dfrac {\ pi ^ 2} {2} – \ dfrac {\ pi ^ 2} {3} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

QED

Considere la función [matemáticas] f (x) = \ dfrac {\ sin {x}} {x} [/ matemáticas]

desde: [matemáticas] \ sin {x} = x- \ dfrac {x ^ 3} {3!} + \ dfrac {x ^ 5} {5!} -… [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {\ sin {x}} {x} = 1- \ dfrac {x ^ 2} {3!} + \ dfrac {x ^ 4} {5!} -… [/ math]

Ahora, según el teorema de factorización de Weierstrass, cada función puede expresarse como un producto de sus ceros.

Los ceros de [math] \ dfrac {\ sin {x}} {x} [/ math] son:

[matemáticas] x = \ pm \ pi, \ \ pm 2 \ pi, \ \ pm 3 \ pi,… [/ matemáticas]

o [matemáticas] \ left (1 \ pm \ dfrac x \ pi \ right), \ \ left (1 \ pm \ dfrac {x} {2 \ pi} \ right), \ \ left (1 \ pm \ dfrac { x} {3 \ pi} \ right),… [/ math]

Por lo tanto, [matemáticas] \ dfrac {\ sin {x}} {x} = \ left (1- \ dfrac {x} {\ pi} \ right) \ left (1+ \ dfrac {x} {\ pi} \ derecha) \ izquierda (1- \ dfrac {x} {2 \ pi} \ derecha) \ izquierda (1+ \ dfrac {x} {2 \ pi} \ derecha) \ izquierda (1- \ dfrac {x} {3 \ pi} \ right) \ left (1+ \ dfrac {x} {3 \ pi} \ right)… [/ math]

[matemáticas] = \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ right) \ left (1- \ dfrac {x ^ 2} {4 \ pi ^ 2} \ right) \ left ( 1- \ dfrac {x ^ 2} {9 \ pi ^ 2} \ right) … [/ math]

Multiplicar los términos y recopilar los coeficientes del término [matemática] x ^ 2 [/ matemática] da:

[matemáticas] … -x ^ 2 \ left (\ dfrac {1} {\ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {4 \ pi ^ 2} + \ dfrac {1} {9 \ pi ^ 2} +… \ right) [/ math]

[math] = – \ dfrac {x ^ 2} {\ pi ^ 2} \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n ^ 2}} [/ math]

Pero a partir de la expansión en serie de [math] \ dfrac {\ sin {x}} {x} [/ math] el coeficiente del término [math] x ^ 2 [/ math] es [math] – \ dfrac {1} {3!} [/ Math] o [math] – \ dfrac 16 [/ math]

Entonces, comparar los coeficientes da:

[matemáticas] – \ dfrac {1} {\ pi ^ 2} \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n ^ 2}} = – \ dfrac 16 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n ^ 2}} = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]

(Este es el famoso problema de Basilea que fue resuelto por Leonhard Euler en 1735 y el enfoque anterior también lo dio por primera vez)

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