Cómo descomponer usando fracciones parciales [matemáticas] \ frac {x ^ 3 – 3x ^ 2 + 4x-1} {x ^ 4-4x ^ 3 + 8x ^ 2-8x + 4} [/ matemáticas]

La primera tarea es factorizar el denominador. Primero verificamos si es un cuadrado perfecto. De lo contrario, es más tedioso.

[matemáticas] x ^ 4–4x ^ 3 + 8x ^ 2–8x + 4 = (x ^ 2–2x) ^ 2 + 4x ^ 2–8x + 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2–2x) ^ 2 + 4 (x ^ 2–2x) +4 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x ^ 2–2x + 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora la tarea es simple. Realice una división larga del numerador por [matemáticas] x ^ 2–2x + 2 [/ matemáticas]

o ajustar los términos.

[matemáticas] x ^ 3–3x ^ 2 + 4x-1 = x (x ^ 2–2x + 2) – (x ^ 2–2x + 2) + 1 = (x-1) (x ^ 2–2x + 2) +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {x ^ 3–3x ^ 2 + 4x-1} {(x ^ 2–2x + 2) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(x-1) (x ^ 2–2x + 2) +1} {(x ^ 2–2x + 2) ^ 2} [/ matemáticas]

[math] = \ boxed {\ dfrac {x-1} {(x ^ 2–2x + 2)} + \ dfrac {1} {(x ^ 2–2x + 2) ^ 2}} [/ math]

resultado -1 / x4–3 × 3 + 5 × 2–4x + 4

trama

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