¿Hay alguna forma analítica de obtener el valor de r para tener respectivamente 0, 1 y 2 soluciones para esta ecuación e ^ -x = rx? (No gráficamente)

Answer 1

Sustituyamos [math] -x [/ math] por [math] x [/ math] por conveniencia. Entonces estamos viendo [matemáticas] e ^ x = r + x [/ matemáticas]; es decir, [matemáticas] e ^ x – x = r [/ matemáticas].

[También presumo por contexto (por ejemplo, las menciones de 0, 1 o 2 soluciones) que está interesado en soluciones de “número real”; no números complejos o cosas así.]

¿Cuál es el comportamiento de [matemáticas] e ^ x – x [/ matemáticas] a medida que [matemáticas] x [/ matemáticas] crece? Bueno, a medida que [math] x [/ math] se acerca al infinito negativo, el término [math] e ^ x [/ math] se vuelve insignificante, dejando solo el [math] -x [/ math] que se acerca al infinito positivo. Por otro lado, a medida que [math] x [/ math] se acerca al infinito positivo, el término [math] e ^ x [/ math] crece mucho más rápido que el término [math] x [/ math], y esto nuevamente se acerca a positivo infinito en general.

Dado que esto se acerca al infinito positivo a medida que [math] x [/ math] crece en cualquier dirección, debe alcanzar un valor mínimo en algún punto intermedio. En este valor mínimo, su derivada debe ser 0. Calculando la derivada como [matemática] e ^ x – 1 [/ matemática] y estableciendo esto igual a 0, vemos que el mínimo ocurre únicamente cuando [matemática] x = 0 [/ matemática], en la cual el valor mínimo alcanzado por [matemática] e ^ x – x [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática].

Por lo tanto, la función alcanza un valor mínimo de 1 en la entrada 0 y aumenta hacia el infinito positivo a medida que la entrada se aleja en cualquier dirección.

Por lo tanto, no hay soluciones para [math] r 1 [/ matemáticas].