Cómo encontrar max y min de [math] f (x, y, z) = x + y + z [/ math] sujeto a [math] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {z} = 1 [/ matemáticas]

El rango de [matemática] f (x, y, z) [/ matemática] no está limitado por encima o por debajo. Es decir, se pueden encontrar valores para hacer que esta función sea tan grande en magnitud como deseamos en direcciones positivas y negativas.

Lema A: para cualquier [matemática] t> 1 \ \ existe x, y, z \ in \ mathbb {R} [/ matemática] tal que [matemática] f (x, y, z)> t [/ matemática].

Lema B: para cualquier [matemática] t <0 \ \ existe x, y, z \ in \ mathbb {R} [/ matemática] tal que [matemática] f (x, y, z) <t [/ matemática].

Pueden existir mínimos y / o máximos locales, pero estos dos resultados muestran que no puede haber un máximo global o un mínimo global.


Prueba del lema A: para cualquier [matemática] t> 1 \ \ existe x, y, z \ in \ mathbb {R} [/ matemática] tal que [matemática] f (x, y, z)> t [/ matemática ]

Deje [math] x = t [/ math] y let [math] y = z = \ frac {2t} {t-1} [/ math].

Tenga en cuenta que [matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {z} = \ frac {1} {t} + 2 \ left (\ frac {t- 1} {2t} \ right) = \ frac {1} {t} + \ frac {t-1} {t} = \ frac {t} {t} = 1 [/ math].

Como [matemática] t> 1 [/ matemática] tenemos [matemática] 2t> 2> 0 [/ matemática] y [matemática] t – 1> 0 [/ matemática] entonces [matemática] y = z = \ frac {2t } {t-1}> 0 [/ matemática] y por lo tanto [matemática] f (x, y, z) = x + y + z> t [/ matemática] según sea necesario QED


Prueba de lema B: para cualquier [matemática] t <0 \ \ existe x, y, z \ in \ mathbb {R} [/ matemática] tal que [matemática] f (x, y, z) <t [/ matemática ]

Sea [math] x = t – 4 [/ math] y sea [math] y = z = \ frac {2t – 8} {t-5} [/ math].

Tenga en cuenta que [matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {z} = \ frac {1} {t-4} + 2 \ left (\ frac { t-5} {2t – 8} \ right) = \ frac {1} {t-4} + \ frac {t-5} {t-4} = \ frac {t-4} {t-4} = 1 [/ matemáticas].

Como [matemática] t <0 [/ matemática] tenemos [matemática] t – 5 <-5 t – 5 [/ matemática] entonces [matemática] \ frac {t-4} {t-5} <\ frac {t-5} {t-5} = 1 [/ matemática] entonces [matemática] y = z = \ frac {2t – 8} {t-5} = 2 \ left (\ frac {t-4} {t-5} \ right) <2 [/ math] y por lo tanto [math] f (x, y, z) = x + y + z <(t-4) + 2 + 2 = t [/ matemáticas] según se requiera QED

[matemáticas] L = x + y + z + \ lambda (\ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {z} -1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left \ {\ begin {array} {l} \ frac {\ partial L} {\ partial x} = 1- \ frac {\ lambda} {x ^ 2} = 0 \\ \ frac {\ partial L} {\ partial y} = 1- \ frac {\ lambda} {y ^ 2} = 0 \\ \ frac {\ partial L} {\ partial z} = 1- \ frac {\ lambda} {z ^ 2 } = 0 \\ \ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda} = \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {z} -1 = 0 \ end {array} \ right. [/matemáticas]

Al resolverlo obtenemos: [matemáticas] x ^ 2 = y ^ 2 = z ^ 2 = \ lambda [/ matemáticas] y puntos: [matemáticas] (3; 3; 3; 9), (-1; 1; 1; 1), (1; 1; -1; 1), (1; -1; 1; 1) [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] G = \ left (\ begin {array} {lll} \ frac {2 \ lambda} {x ^ 3} & 0 & 0 \\ 0 & \ frac {2 \ lambda} {y ^ 3} & 0 \\ 0 & 0 & \ frac {2 \ lambda} {z ^ 3} \ end {array} \ right) [/ math]

Ahora vemos claramente que solo hay un punto mínimo local: (3; 3; 3). No hay puntos máximos. Tampoco hay puntos mínimos y máximos globales.

Para ver esto: [matemáticas] x \ to \ infty, y \ to 2, z \ to 2: f (x, y, z) \ to + \ infty, x \ to – \ infty, y \ to \ frac {1 } {2}, z \ a -1: f (x, y, z) \ a – \ infty [/ math]

PS: para positivo x, y, z podemos prescindir del cálculo sabiendo que la media aritmética es siempre mayor o igual que la armónica y es igual si y solo si x = y = z. Así [matemáticas] \ frac {x + y + z} {3} \ geq \ frac {3} {\ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} + \ frac {1} {z} } = 3 [/ math] y la igualdad se mantiene solo si x = y = z = 3.

Deje que [math] \ displaystyle x = 2 [/ math] y [math] y = 2 [/ math] y [math] z \ to + \ infty [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {z \ to + \ infty} \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {z} = 1 [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {z \ to + \ infty} f (x, y, z) = \ lim_ {z \ to + \ infty} 2 + 2 + z = \ infty [/ math]

Del mismo modo, deje que [math] \ displaystyle x = 2 [/ math] y [math] y = 2 [/ math] y [math] z \ to – \ infty [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {z \ to – \ infty} \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {z} = 1 [/ math]

y, [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {z \ to – \ infty} f (x, y, z) = \ lim_ {z \ to – \ infty} 2 + 2 + z = – \ infty [/ math]

Entonces, max y min de [math] f (x, y, z) [/ math] no es definitivo.

La condición se puede reescribir [matemática] xy + yz + zx = xyz [/ matemática]. Pero

[matemática] (x – 1) (y – 1) (z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z – 1 = f (x) – 1 [/ matemática].

Así [matemáticas] f (x) = (x – 1) (y – 1) (z – 1) + 1 [/ matemáticas]. Aquí tenemos al menos un grado de libertad y, por lo tanto, podemos hacer que cualquiera de x, y o z sea tan grande o tan negativa como deseemos. Entonces no hay máximo o mínimo.

Multiplicadores de Lagrange.

http://tutorial.math.lamar.edu/C

Si x = ∞ e y = z = 2 que f (x, y, z) = x + y + z = ∞ (máx.).
Si x = -∞ e y = z = 2 que f (x, y, z) = x + y + z = -∞ (min).

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