El área definida debajo de una curva se encuentra aplicando o tomando la integral de la función que representa la curva desde un punto inicial a un punto final. La fórmula general para una integral se encuentra tomando la integral de la curva más alguna constante c.
La integral es el límite ya que delta-x llega a cero de {la suma del producto de [delta-x y los valores de f (x (i))]} tomados a intervalos de delta-x. Cuanto menor sea el valor de delta-x, mayor será la precisión de la salida del Área. Por lo tanto, tomar el límite a medida que delta-x se acerca a cero, donde delta-x se convierte en dx da el valor exacto del área.
Área = A ( f (x)) = Integral { f (x) * dx}
Entonces, el área debajo de la parábola [matemáticas] y = (1/2) * x ^ 2 [/ matemáticas] sería
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A (f (x)) = Integral [matemáticas] {(1/2) * x ^ 2 * dx} [/ matemáticas]
= [matemáticas] (1/2) * (x ^ {2 + 1}) / (2 + 1) + c [/ matemáticas]
[matemáticas] = (1/6) * x ^ 3 + c. [/ matemáticas]
… c siendo algo constante.
Para una longitud específica de la curva, para encontrar el área exacta debajo de una curva desde un punto o un valor en el eje x, a otro valor de x, simplemente tome la diferencia de las integrales evaluadas en cada extremo, asegurándose de considere cualquier punto en el que la curva cruza el eje x. La fórmula es la misma, excepto que agrega un punto de inicio y un punto final en la parte superior e inferior del signo integral y toma la integral de la siguiente manera.
Área = A ( f (x)) = Integral ( desde x-inicial hasta x-final de) { f (x) * dx}
Por lo tanto, el área debajo de la parábola [matemática] y = (1/2) * x ^ 2 [/ matemática] desde [matemática] x = 0 [/ matemática] a [matemática] x = 3 [/ matemática] es:
Integral de [matemática] x = 0 [/ matemática] a [matemática] x = 3 {(1/2) * x ^ 2 * dx} [/ matemática]
[matemáticas] = [/ matemáticas] [[matemáticas] (1/2) * (x ^ {2 + 1}) / (2 + 1 [/ matemáticas]) evaluado en [matemáticas] x = 3 [/ matemáticas]] [matemática] – [(1/2) * (x ^ {2 + 1}) / (2 + 1) [/ matemática] [matemática] [/ matemática] evaluada en [matemática] x = 0 [/ matemática]]
= [([matemática] 1/6) * x ^ 3 [/ matemática] evaluada en [matemática] x = 3 [/ matemática]] [matemática] – [/ matemática] [([matemática] 1/6) * x ^ 3 [/ matemáticas] evaluado en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]]
= [matemáticas] (1/6) * (3) ^ 3 – (1/6) * (0) ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1/6 * 27 – 1/6 * 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 27/6 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 9/2 [/ matemáticas]