Cómo escribir la ecuación compleja z ^ 3 + 5z ^ 2 = z + 3i como dos ecuaciones reales

Answer 1

Las dos ecuaciones reales son:
x ^ 3 + 5x ^ 2 – x (1 + 3y ^ 2) – 5y ^ 2 – 3 = 0
(3x ^ 2 – y ^ 2 + 10x – 1) y = 0

Prueba:
En teoría de funciones de variables complejas z,
z = x + iy
donde x (Re z) e y (Im z) son variables reales e i = sqrt (-1) es un número imaginario puro. Sustituyendo z = x + iy en la ecuación dada
z ^ 3 + 5z ^ 2 = z + 3i, obtenemos

(x + iy) ^ 3 + 5 (x + iy) ^ 2 = x + iy + 3i
Expandiendo el LHS,
x ^ 3 + 3.x.iy (x + iy) + (iy) ^ 3 + 5 [x ^ 2 + 2.x.iy + (iy) ^ 2] = x + iy + 3
O, x ^ 3 + 3i.x ^ 2 y + 3.i ^ 2 xy ^ 2 + i ^ 3 y ^ 3 + 5x ^ 2 + 10i.xy + 5.i ^ 2.y ^ 2 = x + iy + 3
Sabemos, i = (- 1) ^ 1/2, i ^ 2 = -1, i ^ 3 = i ^ 2.i = (- 1) i = -i
Por lo tanto, x ^ 3 + 3i.x ^ 2. y – 3 xy ^ 2 – iy ^ 3 + 5x ^ 2 + 10i.xy – 5y ^ 2 = x + iy + 3
Recopilando los términos reales e imaginarios de ambos lados de la ecuación,
(x ^ 3 + 5x ^ 2 – 3 xy ^ 2 – 5y ^ 2) + i (3yx ^ 2 – y ^ 3 + 10xy) = (x + 3) + iy
Ahora, equipare las partes reales de ambos lados,
(x ^ 3 + 5x ^ 2 – 3 xy ^ 2 – 5y ^ 2) = x + 3
O, x ^ 3 + 5x ^ 2 – 3 xy ^ 2 – 5y ^ 2- x-3 = 0
O, x ^ 3 + 5x ^ 2 – x (1 + 3y ^ 2) – 5y ^ 2 – 3 = 0 ………………………………. (1)
Igualando las partes imaginarias de ambos lados,
(3yx ^ 2 – y ^ 3 + 10xy) = y
Transponiendo la y de RHS y equiparando la RHS a cero,
3yx ^ 2 – y ^ 3 + 10xy – y = 0
O, y (3x ^ 2 – y ^ 2 + 10x – 1) = 0 ………………………………………………. (2)
Combinando (1) y (2), las dos ecuaciones reales requeridas son:
x ^ 3 + 5x ^ 2 – x (1 + 3y ^ 2) – 5y ^ 2 – 3 = 0 (Probado)
(3x ^ 2 – y ^ 2 + 10x – 1) y = 0 (Probado)

Answer 2

Sustituye [math] z = x + iy [/ math] para obtener

[matemáticas] (x + iy) ^ 3 + 5 (x + iy) ^ 2 = x + iy + 3i [/ matemáticas]

aplique fórmulas binomiales a los paréntesis, y finalmente separe los términos con un factor [math] i [/ math] (después de usar [math] i ^ 2 = -1 [/ math]).

Creo que es mucho mejor si haces esto, solo para hacer ese ejercicio, que decirte la solución.