Dada una ecuación cuadrática, ¿cómo puedo escribir una ecuación lineal que intercepte la parábola una vez?

Básicamente, hay 3 formas de hacer esto.

En primer lugar, cualquier línea VERTICAL solo cruzará una parábola una vez.

He dibujado líneas verticales x = 1, x = 2 yx = 4 a continuación para ilustrar esto.

En segundo lugar, una línea horizontal que pasa por el vértice de la parábola solo se intersecará en un punto. Vea abajo:

En tercer lugar, el caso general es donde una línea es una tangente a la parábola, por lo que solo se cruza una vez.

Para ilustrar el método lógico, elegimos un punto en la parábola, por ejemplo, elegiré (3, 4)

La idea clave es que el gradiente de esta línea debe ser el mismo que el gradiente de la parábola en este punto, de lo contrario, se cruzaría dos veces

La forma de la ecuación de la línea debe ser y = mx + c

sabemos m = 2, entonces se convierte en y = 2x + c

y sabemos que pasa por (3, 4) por lo que sustituimos estos valores para encontrar c

Entonces obtenemos 4 = 2 × 3 + c que significa c = – 2

La ecuación de nuestra línea es y = 2x – 2

La ecuación de una tangente a una función f en el punto x_0 es:

[matemáticas] y = (x-x_0) f ‘(x_0) + f (x_0) [/ matemáticas].

todo lo que necesita hacer es calcular la derivada de su ecuación de parábola y elegir cualquier punto, y conectar ese resultado a la fórmula anterior.

Debe encontrar una línea tangente en un punto particular O utilizar el eje de simetría. Usar el eje de simetría es mucho más fácil. El eje de simetría es la línea vertical que atraviesa el vértice. Por ejemplo, si el vértice es (3, – 7), entonces el eje de simetría es x = 3. (Esa es la ecuación lineal de una línea vertical).

Suponiendo que su cuadrática es ax² + bx + c = y [I]

La ecuación lineal deseada se puede escribir como mx + n = y [II]

Entonces, lo que necesitas hacer es:

PASO 1 – Reemplace y por mx + n en su ecuación cuadrática

PASO 2 – Simplifique esta ecuación a algo como rx² + sx + t = 0 [III]

Esto significa que está resolviendo el sistema de ecuaciones, es decir, encontrando las intersecciones entre las dos curvas (cuadrática [I] y lineal [II]). Como desea que estas curvas tengan solo una intersección, debe forzar su nueva ecuación [III] para que solo tenga una raíz:

PASO 3 – Haga delta = s² – 4rt = 0 y explore las soluciones en términos de myn


Veamos un ejemplo:

Deje que nuestra ecuación cuadrática sea y = x²

Entonces, haciendo el PASO 1, obtenemos (mx + n) = x² que, al hacer el PASO 2, se convierte en la ecuación x² – mx – n = 0

Por último, haciendo el PASO 3 tenemos delta = m² + 4n

Forzando delta = 0, encontramos:
m² + 4n = 0
4n = -m²
n = -m² / 4

Entonces, para cualquier valor de m, la ecuación lineal y = mx – m² / 4 interceptará la parábola una vez.

Ya sea una línea tangente o una línea paralela al eje de simetría.

Una parábola estándar de escuela secundaria tiene un eje de simetría vertical u horizontal, por lo que una línea de la forma [matemáticas] x = k [/ matemáticas] o [matemáticas] y = k [/ matemáticas] es la forma más fácil.

Yo diría usar derivados .

Básicamente, tomar la derivada de una ecuación te da una fórmula para la pendiente de esa ecuación en cualquier [matemática] x [/ matemática].

Si sabe cuál es la ecuación para la parábola, puede realizar los siguientes pasos:

  1. Toma la derivada de ello.
  2. Evalúelo en cualquier [matemática] x [/ matemática] para obtener la pendiente de la parábola en cierto punto.
  3. Usando la ecuación original, encuentre la coordenada y correspondiente a esa [matemática] x [/ matemática] que eligió.
  4. Use la forma punto-pendiente ([matemática] y – y1 = m (x – x1) [/ matemática]), conecte sus puntos y ¡listo! Tienes una ecuación lineal.

En su mayor parte, esto debería darle una ecuación lineal que se cruza con la parábola una vez.

Espero que esto ayude.