¿Cómo haces esto? ¿Cuál es la distancia desde el punto A (-1,5) a la línea con la ecuación 4x-5y = 12?
La distancia desde un punto a una línea es la distancia más corta desde un punto a una línea en geometría euclidiana.
Los vectores proporcionan una forma elegante y sistemática de calcular la distancia desde un punto a una línea.
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Supongamos, como en la figura (a), que deseamos calcular la distancia entre el punto P, definido a través del vector p , y la línea L definida por el vector unitario [math] \ hat {u} [/ math] aplicado en un punto arbitrario A (definido con el vector a ).
La distancia desde el punto P a la línea L viene dada por
distancia ( P , L ) = | ( a – p ) – (( a – p ) [matemáticas] \ cdot \ hat {u}) \ hat {u} | [/ matemáticas]
Esta ecuación se construye geométricamente de la siguiente manera, vea la figura (b): a – p es un vector desde el punto P al punto A en la línea. Entonces el producto escalar ( a – p ) [matemáticas] \ cdot \ hat {u} [/ matemáticas] es la magnitud de ( a – p ) proyectada en la línea, y entonces (( a – p ) [matemáticas] \ cdot \ hat {u}) \ hat {u} [/ math] es la proyección vectorial de a – p sobre la línea L , y la diferencia r = ( a – p ) – (( a – p ) [math] \ cdot \ hat {u}) \ hat {u} [/ math] es el rechazo perpendicular de ( a – p ) desde la línea. Entonces, la distancia desde el punto a la línea es solo la magnitud o el valor absoluto de ese vector r .
Numéricamente, identifiquemos dos puntos arbitrarios sobre la línea, insertando dos valores arbitrarios de x, como -2 y 5.5 en la ecuación de la línea; los valores correspondientes de y resultan -4 y 2:
L1 = (0, -2, -4, 0);
L2 = (0, 5,5, 2, 0);
Por lo tanto, un vector a lo largo de la línea es:
L = L2 – L1
= L = (0, -7.5, -6, 0)
El vector unitario [math] \ hat {u} [/ math] a lo largo de la línea L se obtiene dividiendo el vector L por su magnitud o longitud:
u = unidad (L2-L1)
= u = (0, 0.78087, 0.6247, 0)
Deje que un punto arbitrario sobre la línea L sea A (tomemos por ejemplo L2), con vector:
a = (0, 5,5, 2, 0);
El punto P se da:
p = (0, -1, 5, 0);
El vector del punto P al punto A es la diferencia
pa = a – p
= pa = (0, 6.5, -3, 0)
La proyección del vector PA en la dirección del vector [math] \ hat {u} [/ math] viene dada por el producto punto [math] (pa \ cdot \ hat {u}) [/ math] multiplicado por [math] \ hat {u} [/ math]:
[matemáticas] pr = (pa \ cdot \ hat {u}) \ hat {u} [/ math]
Necesitamos la magnitud del rechazo de pa de [math] \ hat {u} [/ math]. Este vector r es ortogonal o perpendicular a la línea:
r = pa – pr
= r = (0, 4, -5, 0)
Finalmente, la distancia es la magnitud del vector r:
dist = abs (r)
= dist = 6.4031 (Esto es igual a [math] \ sqrt {41} [/ math] que ha calculado otra respuesta).
