Si la longitud de las patas de un triángulo rectángulo son x e y, y la longitud de la hipotenusa es x + y-10, ¿cuál es el radio máximo de un círculo inscrito en este triángulo?

Answer 1

El radio del círculo inscrito [math] r [/ math] en un triángulo rectángulo es [math] sc [/ math], donde [math] s [/ math] es el semiperímetro ([math] \ frac12 (a + b + c) [/ math]) y [math] c [/ math] la hipotenusa del triángulo. [1]

Entonces, en este caso: [matemáticas] r = \ frac12 (x + y + x + y-10) – (x + y-10) [/ matemáticas].

Resolviendo la ecuación [matemáticas] r = 5 [/ matemáticas].

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[1] Dado el triángulo rectángulo [matemático] ABC [/ matemático] con patas [matemático] a = BC, b = AC [/ matemático] e hipotenusa [matemático] c = AB [/ matemático], inscribamos el círculo [matemático] \ mathcal I [/ math] con centro [math] I [/ math] y radio [math] r [/ math]. [matemática] \ matemática I [/ matemática] es tangente a [matemática] BC [/ matemática] en el punto [matemática] U [/ matemática], tangente a [matemática] AC [/ matemática] en el punto [matemática] V [/ matemática] y tangente a [matemática] AB [/ matemática] en el punto [matemática] W [/ matemática].

Tenemos [math] CU = CV \ mathrel {=:} w [/ math] ya que los triángulos [math] CIU [/ math] y [math] CIV [/ math] son ​​congruentes. De forma análoga [matemática] AW = AV \ matemática {=:} u [/ matemática] y [matemática] BW = BU \ matemática {=:} v [/ matemática].

Además, [matemática] 2u + 2v + 2w = a + b + c [/ matemática], entonces [matemática] u + v + w = ​​\ frac12 (a + b + c) = s [/ matemática]. También [math] c = u + v [/ math] entonces [math] w = sc [/ math].

Dado que [math] C [/ math] es un ángulo recto, entonces [math] CVIU [/ math] es un cuadrado y [math] r = w [/ math]. Entonces [matemáticas] r = sc [/ matemáticas].

Answer 2

El radio del círculo inscrito está dado por [matemática] r = \ dfrac {xy} {x + y + x + y-10} = \ dfrac {xy} {2x + 2y-10}. [/ Matemática]

Pero [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + 100 + 2xy-20x-20y. [/ Matemáticas]

Entonces [matemáticas] 20x + 20y = 100 + 2xy \ Rightarrow 2x + 2y-10 = 10 + 0.2xy-10 = 0.2xy. [/ Math]

Entonces el radio es [math] r = \ dfrac {xy} {0.2xy} = 5. [/ Math]

Parece que el radio es una constante.

Answer 3

Esa fue una pregunta decente y una que hizo volar algunas telarañas de la cabeza de este 50 algo.

¡Espero haberlo hecho bien!

yx / (2y + 2x – 10)?

Línea a través del origen con gradiente tanA intersecta la línea a través del ángulo recto con gradiente -1 en el centro del círculo inscrito. Tan 2A = y / X. Exprese tanA como función de cos2A y sin2A y sustitúyalo de nuevo. ¿Evitar errores al jugar con la ecuación resultante para obtener lo anterior?

Answer 4

Área del triángulo = radio del incircle * semiperímetro

x * y / 2 = radio * (x + y + x + y-10/2)

Resuelve esto para obtener el radio.