¿Qué significa equilátero y equiangular?

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¿Qué significa equilátero y equiangular?

Equilátero significa tener todos los lados iguales. [1]

Equiangular significa tener todos los ángulos iguales. [2]

Un polígono regular [3] es un polígono [4] que es equiangular y equilátero.

Un triángulo que es equilátero también debe ser equiangular. Por el contrario, un triángulo que es equiangular también debe ser equilátero.

Pero no es necesariamente el caso que equiangular implique equilátero o viceversa para polígonos con más de 3 lados. Un cuadrilátero equilátero se llama rombo. [5] Un cuadrilátero equiangular se llama rectángulo. [6] Un cuadrilátero que es equiangular y equilátero es un cuadrado. [7]

En un polígono equiangular, [8] la suma de distancias desde un punto interior a los lados no depende de la ubicación del punto, y es el polígono invariante. [9] [10] [matemáticas] ~ [/ matemáticas] Sorprendentemente, lo mismo es cierto para un polígono equilátero. [11] [12] [matemáticas] ~ [/ matemáticas] Aún más sorprendente, la suma de distancias desde un punto exterior a los lados es igual a esta misma constante invariante si consideramos distancias “firmadas”, en las cuales el signo es negativo si el punto está en el lado “lejano” de un lado dado. (A medida que viaja en sentido antihorario alrededor del polígono, el lado “cercano” está a su izquierda y el lado “lejano” está a su derecha.) Sé que esto le va a dejar boquiabierto, pero este hecho es incluso cierto para polígonos equiangulares convexos, que pueden ser auto-intersectantes, y pueden tener longitudes de lado negativo. No te asustes por un lado negativo. Simplemente gire en sentido antihorario a través del mismo ángulo, luego cambie a reversa a medida que avanza hacia la longitud del lado negativo y continúe hasta que llegue al siguiente vértice, manteniendo el lado “cercano” a su izquierda.

Si un polígono equiangular es cíclico (lo que significa que todos sus vértices se encuentran en un solo círculo) y tiene un número par de lados, entonces las longitudes de los lados alternan [matemática] a, [/ matemática] [matemática] b, [/ matemática] [ matemática] a, [/ matemática] [matemática] b,… [/ matemática] Si el polígono equiangular es cíclico y tiene un número impar de lados, entonces debe ser un polígono regular.

Si las longitudes laterales de un polígono equiangular son [matemática] a_1, [/ matemática] [matemática] a_2, [/ matemática] [matemática]…, [/ matemática] [matemática] a_n, [/ matemática] con [matemática] \ theta [/ math] como el ángulo entre lados adyacentes, entonces el polinomio [math] a_1 + a_2x +… + a_nx ^ {n-1} [/ math] es divisible por [math] x ^ 2-2x \ cos (\ theta ) +1. [/ Math] Esto es de uso práctico al dibujar una figura equiangular cerrada. Significa que podemos especificar cualquier longitud que nos guste para los primeros lados [matemáticos] n-2 [/ matemáticos], y luego realizar una división polinómica para calcular los últimos dos lados para hacer que el polinomio se divida de manera uniforme. [13] [14] [matemática] ~ [/ matemática] En la práctica, dependiendo de los primeros lados [matemáticos] n-2 [/ matemáticos], esto puede requerir coeficientes polinómicos negativos, por lo tanto, longitudes de lados negativos, para uno (o ambos, si realmente creativo) de tus dos últimos lados. Para crear una figura convexa, usaría [math] \ theta = \ frac {2 \ pi} {n}, [/ math] pero puede crear figuras auto-intersectantes que tomen, por ejemplo, dos turnos antes de que se cierren usando [matemáticas] \ theta = \ frac {4 \ pi} {n}. [/ matemáticas] Ni siquiera es necesario que la figura tome un número entero de turnos, pero si lo intentas, encontrarás el el último ángulo ocupa la holgura, y aunque se cierra muy bien, su figura ya no es equiangular.

[matemáticas] ~ [/ matemáticas]

Droodle

Siéntase libre de arrastrar los vértices para ver qué sucede con un pentágono equiangular, en el que las longitudes laterales se calculan utilizando el polinomio mencionado anteriormente.

Notas al pie

[1] la definición de equilátero

[2] la definición de equiangular

[3] Polígono regular – Wikipedia

[4] Polígono – Wikipedia

[5] Rombo – Wikipedia

[6] Rectángulo – Wikipedia

[7] Cuadrado – de Wolfram MathWorld

[8] Polígono equiangular – Wikipedia

[9] Teorema de Viviani – Wikipedia

[10] [0903.0753v3] Sobre el teorema de Viviani y sus extensiones

[11] Polígono equilátero – Wikipedia

[12] Una ilustración de las funciones explicativas y de descubrimiento de la prueba.

[13] Polígono equiangular – Wikipedia

[14] Longitudes laterales de polígonos equiangulares (como se ve por una teoría de codificación …: Ingenta Connect