¿Cuál es la solución para esta ecuación, encontrar el número de soluciones enteras positivas (4 / x) + (10 / y) = 1?

Answer 1

La ecuación dada es equivalente a [matemáticas] 10x + 4y = xy [/ matemáticas], y por lo tanto a [matemáticas] (x-4) (y-10) = 40 [/ matemáticas]. Para cada [matemática] d \ mid 40 [/ matemática], [matemática] d \ in \ mathbb Z [/ matemática], corresponde la solución [matemática] x-4 = d [/ matemática], [matemática] y- 10 = \ frac {40} {d} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] x = d + 4 [/ math], [math] y = \ frac {40} {d} +10 [/ math], y necesitamos elegir solo aquellos [math] d [/ math] para que [matemática] d + 4> 0 [/ matemática] y [matemática] \ frac {40} {d} +10> 0 [/ matemática].

Además de todos los divisores positivos de [matemáticas] 40 = 2 ^ 3 \ cdot 5 [/ matemáticas] [matemáticas] ([/ matemáticas] de las cuales hay [matemáticas] (3 + 1) (1 + 1) = 8) [/ math], solo podemos elegir [math] d \ in \ {- 1, -2 \} [/ math] [math] ([/ math] ya que [math] d + 4> 0) [/ math] . Sin embargo, ninguno de estos satisface [math] \ frac {40} {d} +10> 0 [/ math]. Entonces, existen exactamente las ocho soluciones correspondientes a los ocho divisores positivos de [math] 40 [/ math]:

[matemáticas] (d, x, y) \ in \ big \ {(1,5,50), (2,6,30), (4,8,20), (5,9,18), (8 , 12,15), (10,14,14), (20,24,12), (40,44,11) \ big \} [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Esto es facil …

Como es una ecuación no lineal, reorganicemos … para que podamos hacerlo en la forma f (x) = y ie;

[matemáticas] y = \ frac {10.x} {x-4} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que esto no es continuo en x = 4.

Acabo de hacer una hoja de Excel simple para [math] x \ in [5,50]. [/ Math] Esto nos permite contar los pares de solución integral positiva directamente, son los siguientes:

5,50
6,30
8,20
9,18
12,15
14,14
24,12
44,11

Una vez que [math] x> 44 [/ math] luego [math] y <11 [/ math] pero alcanzará 10 solo cuando x sea [math] + \ infty [/ math]

Answer 3

Utilice el teorema MULTINOMIAL