¿Cuál es la importancia de las operaciones inversas al resolver ecuaciones?

Las inversiones son fundamentales y esenciales: ¡literalmente no se puede hacer nada sin ellas!

Lo único que una ecuación le permite hacer es sustituir iguales por iguales. Como resultado, puede realizar la misma operación en ambos lados de una ecuación. Por ejemplo, para resolver [matemática] x + 2 = 0 [/ matemática] realizamos la operación “restar dos” en ambos lados para obtener:

[matemáticas] \ quad (x + 2) -2 = 0-2 [/ matemáticas]

Eso solo es útil porque “restar dos” es la operación inversa para “sumar dos”. Combinado con la asociatividad de suma y cero como elemento de identidad, podemos simplificar las cosas para obtener la [matemática] x = -2 [/ matemática] deseada. Capturamos esta secuencia de eventos “moviendo [matemática] 2 [/ matemática] de un lado al otro y cambiando los signos”, pero hacerlo depende fundamentalmente de que haya una operación inversa para sumar.

¿Qué tal [matemáticas] ax = 2 [/ matemáticas]? Nos gustaría multiplicar ambos lados por un inverso adecuado: el recíproco [math] \ frac1a [/ math]. El problema es que no existe para [math] a = 0 [/ math], por lo que debemos mantenerlo como una excepción.

¿Qué pasa con [matemáticas] x ^ 2 = 4 [/ matemáticas]? Aquí nos gustaría tener un inverso para la cuadratura. ¿No es esa raíz cuadrada? Casi . El problema es que hay dos raíces cuadradas, por lo que no hay una operación inversa única.

Las cosas empeoran aún más con funciones más complicadas que, como la cuadratura, no son inyectivas (o uno a uno). Tales funciones no admiten inversas. Para resolver [matemática] f (x) = y [/ matemática] necesitamos encontrar el inverso, [matemática] f ^ {- 1} [/ matemática], para obtener:

[matemáticas] \ quad x = f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (y) [/ matemáticas]

Como resultado, en general, no puede resolver completamente ecuaciones que involucran funciones no inyectivas.

Las operaciones inversas le permiten mover cosas dentro de una ecuación que normalmente estaría vinculada dentro de una función.

Un buen ejemplo sería la función de raíz cuadrada. Si eso se muestra en una ecuación complicada, no puede extraer ningún componente de debajo por separado, la solución es aislar la raíz cuadrada en un lado, el cuadrado en ambos lados.

Funciones similares son

Ln (x) y e ^ x

Sin (a) = x / y y arcsin (x / y) = a

Las funciones no son números, son más un proceso, por lo que necesita funciones especiales, en sentido inverso, para moverlas.