Para un eje cuadrático [matemático] ^ 2 + bx + c [/ matemático] con raíces [matemática] \ alpha [/ matemático] y [matemático] \ beta [/ matemático], el discriminante se define como [matemático] a ^ 2 (\ alpha- \ beta) ^ 2 [/ math], es decir, el cuadrado de la diferencia entre las raíces de la cuadrática, escalado por la constante [math] a ^ 2 [/ math].
Soy consciente de que esta definición no es la que generalmente se enseña en la escuela secundaria. Sin embargo, es la definición que funciona mejor si desea generalizarla a polinomios de mayor grado. Por ejemplo, el discriminante del eje cúbico [matemático] ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemático] cuyas raíces son [matemático] \ alfa [/ matemático], [matemático] \ beta [/ matemático] y [ math] \ gamma [/ math] es [math] a ^ 4 (\ alpha- \ beta) ^ 2 (\ alpha- \ gamma) ^ 2 (\ beta- \ gamma) ^ 2 [/ math], el producto de los cuadrados de todas las diferencias posibles entre sus raíces, escaladas por la constante [matemáticas] a ^ 4 [/ matemáticas]. Para el cuarto con coeficiente principal [matemática] a [/ matemática] y raíces [matemática] \ alpha [/ matemática], [matemática] \ beta [/ matemática], [matemática] \ gamma [/ matemática], [matemática] \ delta [/ math], el discriminante es [math] a ^ 6 (\ alpha- \ beta) ^ 2 (\ alpha- \ gamma) ^ 2 (\ alpha- \ delta) ^ 2 (\ beta- \ gamma) ^ 2 (\ beta- \ delta) ^ 2 (\ gamma- \ delta) ^ 2 [/ math], y así sucesivamente.
Alternativamente, uno puede definir el discriminante como el cuadrado del determinante de la matriz de Vandermonde
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & \ alpha & \ alpha ^ 2 & \ cdots & \ alpha ^ {n-1} \\ 1 & \ beta & \ beta ^ 2 & \ cdots & \ beta ^ {n- 1} \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \\ 1 & \ gamma & \ gamma ^ 2 & \ cdots & \ gamma ^ {n-1} \ end {pmatrix} [/ math]
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multiplicado por [matemática] a ^ {2n-2} [/ matemática], donde [matemática] n [/ matemática] es el grado del polinomio, [matemática] a [/ matemática] es su coeficiente principal, y [matemática] \ alpha, \ beta, \ ldots, \ gamma [/ math] son sus raíces [math] n [/ math].
Entonces, ¿qué representa el discriminante? Es una expresión que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene al menos dos raíces iguales. Esta fue la intención original de la definición del discriminante.
Como comentario aparte, la palabra ‘discriminante’ fue originalmente acuñada por Sylvester en 1851, en el artículo Sobre un descubrimiento notable en la teoría de las formas canónicas y de los hiperdeterminantes , Philosophical Magazine, cuarta serie, 2 : 391–410.
En el caso particular del discriminante de un polinomio de grado [matemático] 2 [/ matemático], podemos decir más que esto.
- Si los coeficientes del polinomio son números reales y el discriminante es un número real positivo, entonces el cuadrático se puede factorizar sobre los reales (de manera equivalente, tiene dos raíces reales ). Si el discriminante es negativo, entonces el polinomio no es factorizable sobre los reales, por lo que tiene raíces complejas .
- Si los coeficientes del polinomio son números racionales y el discriminante es un cuadrado perfecto, entonces el cuadrático es factorizable sobre los racionales (de manera equivalente, tiene dos raíces racionales ).
- Si los coeficientes del polinomio son enteros, con el coeficiente principal igual a [math] 1 [/ math], y el discriminante es un cuadrado perfecto, entonces el cuadrático se puede factorizar sobre los enteros (equivalentemente, tiene dos raíces enteras ).
