¿Cuáles son las ecuaciones de todas las líneas que tienen pendiente = 1 que son tangentes a la curva y = 1 / (x-1)?

Si [matemáticas] y = \ frac {1} {x-1} [/ matemáticas] entonces

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {(x-1) ^ {2}} \ tag {1} [/ matemáticas]

Ahora el gradiente de la tangente en [math] x = p [/ math] se obtiene sustituyendo en (1)

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {(p-1) ^ {2}} \ tag {2} [/ matemáticas]

Como la tangente es una línea, entonces tiene la forma

[matemáticas] y-y_ {0} = m (x-x_ {0}) \ tag {3} [/ matemáticas]

donde [math] m [/ math] es el gradiente de la línea, y [math] (x_ {0}, y_ {0}) [/ math] es un punto por el que pasa. Ahora tenemos [matemática] m [/ matemática] de (2), tomando [matemática] x_ {0} = p [/ matemática] luego [matemática] y_ {0} = \ frac {1} {p-1} [ / math] y (3) rendimientos

[matemáticas] y- \ frac {1} {p-1} = \ frac {-1} {(p-1) ^ {2}} \ left (xp \ right) [/ math]

o

[matemáticas] \ begin {align} y & = \ frac {-1} {(p-1) ^ {2}} x + \ frac {p} {(p-1) ^ {2}} + \ frac {1 } {p-1} \\ & = \ frac {-1} {(p-1) ^ {2}} x + \ frac {2p-1} {(p-1) ^ {2}} \ tag {4 } \ end {align} [/ math]

Claramente, hay un problema con (4) cuando [matemática] p [/ matemática] es la unidad (la asíntota vertical de la curva). También a partir de (2) vemos que solo son posibles los gradientes negativos (ya que el numerador es [matemática] -1 [/ matemática] y el denominador siempre es positivo para [matemática] p \ ne 1 [/ matemática]). La ecuación (4) proporciona las posibles tangentes a la curva dada.

La derivada de [matemática] y = \ frac 1 {x-1} [/ matemática] es [matemática] y ‘= – \ frac 1 {(x-1) ^ 2} [/ matemática]

¡Por lo tanto, todas las líneas tangentes a esta curva deben ser negativas!

Pero podemos intentar encontrar tangentes con pendiente [matemática] -1. [/ Matemática]

[matemáticas] – \ frac 1 {(x-1) ^ 2} = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac 1 {(x-1) ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x-1) ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = 2,0 [/ matemáticas]

Al conectar estos valores a [math] y = \ frac 1 {x-1} [/ math]

Obtenemos [matemáticas] y = 1, -1 [/ matemáticas]

Ahora, si dibujamos la gráfica de la curva, encontramos que solo hay dos líneas tangentes con pendientes enteras a esta curva en los puntos: [matemática] (2,1) y (0, -1) [/ matemática]

1. [matemáticas] y = -x + 3 [/ matemáticas]

2. [matemáticas] y = -x-1 [/ matemáticas]

De hecho, estas dos líneas son las únicas líneas con tangentes enteras a [matemáticas] y = \ frac 1 {x-1} [/ matemáticas]

* A2A

En [math] x = 1 [/ math], la pendiente no está definida, por lo que no habrá líneas tangentes ya que [math] (x, y) = (1, \ text {undefined}) [/ math]

No hay ninguno. La derivada de [math] y = \ frac 1 {x-1} [/ math] es [math] y ‘= – \ frac 1 {(x-1) ^ 2} [/ math], por lo que todas las líneas tangentes a esa curva debe tener pendiente negativa.

Aquí se describe cómo encontrar una línea tangente en [math] x = x_c [/ math]:

1) Encuentre la primera derivada de [math] f (x) [/ math].

2) Inserte el valor [matemático] x [/ matemático] del punto indicado en [matemático] f ‘(x) [/ matemático] para encontrar la pendiente en [matemático] x [/ matemático].

3) Inserte el valor [matemático] x [/ matemático] en [matemático] f (x) [/ matemático] para encontrar la coordenada y del punto tangente.

4) Combine la pendiente del paso 2 y el punto del paso 3 usando la fórmula punto-pendiente para encontrar la ecuación para la línea tangente.

5) Grafica tus resultados para ver si son razonables.

Entonces, siguiendo los pasos, necesitamos encontrar la derivada de [math] \ frac {1} {x-1} [/ math]

La derivada de una función [matemática] f (x) [/ matemática] se define como [matemática] \ frac {\ partial f (x)} {\ partial x} = f ‘(x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ math] (personalmente no encuentro útil esta definición, pero afortunadamente hay reglas para encontrar la derivada que son más fáciles de manejar)

Para encontrar la derivada de [math] \ frac {1} {x-1} [/ math] necesitamos reglas de vista:

[matemáticas] (c) ‘= 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ a) ‘= hacha ^ {a-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) ‘= \ frac {f’ (x) g (x) -f (x) g ‘(x)} {( g (x)) ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces, todos juntos [matemática] \ left (\ frac {1} {x-1} \ right) ‘= – \ frac {1} {(x-1) ^ 2} [/ math]

Ahora, de acuerdo con el paso 2, debemos enchufar x para encontrar la pendiente, pero tenerla dada para que tengamos la ecuación:

[matemáticas] – \ frac {1} {(x-1) ^ 2} = 1 \ mid \ cdot (x-1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] -1 = x ^ 2-2x + 1 \ medio +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2-2x + 2 = 0 \ mid \ text {completar el cuadrado} [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-1) ^ 2-1 + 2 = 0 \ mediados de -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-1) ^ 2 = -1 \ mid \ sqrt {} [/ matemáticas]

[matemáticas] x-1 = \ pm i \ mid +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1 \ pm i [/ matemáticas]

Ahora [math] 1 \ pm i [/ math] no hay números reales, por lo tanto no existe esa línea.

Pero puedes jugar un poco con las líneas tangentes de [math] \ frac {1} {x-1} [/ math] (la pendiente es [math] f ‘(x_1) [/ math]).

y ‘= – 1 / (x-1) ² <0

Por lo tanto, la pendiente de la tangente a la curva no puede ser +1

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