¿Cuál es la ecuación del círculo que pasa por (1,2), que tiene su centro 2x + y = 1 y corta ortogonalmente el círculo x ^ 2 + y ^ 2-2x + 1 = 0?

En primer lugar, esto [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 -2 \ cdot x +1 = 0 [/ matemáticas] no es una ecuación de círculo

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 -2 \ cdot x +1 = 0 [/ matemáticas] también se puede escribir en una forma condensada de [matemáticas] (x-1) ^ 2 + y ^ 2 = 0 [/ matemáticas]. Entonces, ¿dónde está el radio de este llamado círculo? No puede ser cero.

Ahora, deje que la ecuación del círculo que pasa por (1,2) y que tenga su centro en la línea [matemáticas] 2 \ cdot x + y = 1 sea (x – x_1) ^ 2 + (y – y_1) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]

donde [matemática] x_1, y_1 [/ matemática] es el centro del círculo y [matemática] r [/ matemática] es el radio del círculo.

En el diagrama anterior, ‘PQ’ es la representación gráfica de la línea 2x + y = 1 y el centro del círculo se encuentra en ella. Además, el círculo pasa a través del punto (1,2) que se muestra en la figura como ‘R’. Se dibuja una perpendicular desde el punto ‘R’ hasta la línea 2x + y = 1 encontrándola en el punto ‘S’. Este punto ‘S’ es el centro del círculo y la longitud de esta línea perpendicular ‘RS’ es el radio del círculo.

El producto de la pendiente de la línea ‘RS’ y el de la línea ‘PQ’ será -1 ya que estas dos líneas son perpendiculares entre sí.

Deje que las coordenadas del punto ‘S’ sean [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas]

Entonces, la pendiente de la línea ‘RS’ sería [matemática] \ dfrac {(y_1 – 2)} {(x_1 – 1)} [/ matemática] —— (i)

Conocemos la pendiente de la línea 2x + y = 1 y que es -2 ——- (ii)

Multiplicación de (i) con (ii) = [matemáticas] \ dfrac {(y_1 – 2)} {(x_1 – 1)} \ cdot (-2) = -1 [/ matemáticas]

Al resolver esto, obtendremos [matemáticas] 2 \ cdot y_1 – x_1 = 3 [/ matemáticas] ——— (iii)

El centro del círculo (punto ‘S’) también se encuentra en la línea ‘PQ’. Entonces, el punto ‘S’ también satisfará la ecuación de la línea ‘PQ’.

[matemáticas] 2 \ cdot x_1 + y_1 = 1 [/ matemáticas] ——— (iv)

Resolver simultáneamente (iii) y (iv) nos dará como resultado [matemáticas] y_1 = \ dfrac {7} {5} [/ matemáticas] y

[matemáticas] x_1 = \ dfrac {(- 1)} {5} [/ matemáticas]

Ahora, el radio del círculo ‘r’ sería [matemática] \ sqrt {(x_1 – 1) ^ 2 + (y_1 – 2) ^ 2} [/ matemática]

[matemáticas] r [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {(x_1 – 1) ^ 2 + (y_1 – 2) ^ 2} \ implica r = \ pm \ sqrt {1.8} [ /matemáticas]

Usando los valores de [matemática] x_1, y_1 [/ matemática] y [matemática] r [/ matemática] la ecuación del círculo es

[matemática] \ left (x – \ dfrac {(- 1)} {5} \ right) ^ 2 + \ left (y – \ dfrac {7} {5} \ right) ^ 2 = 1.8 [/ math] ( Responder)

Shibabrata Nanda

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