Muestre que la ecuación dada tiene solución en enteros positivos. 33x + 15y = 14.?

Answer 1

La ecuación dada no tiene soluciones integrales.

Probaría una afirmación más genérica y más fuerte.

Reclamación: La ecuación [math] ax + by = c [/ math] tiene enteros si y solo si [math] mcd (a, b) | c. [/ Math]

Observe que funciona en ambos sentidos.

Prueba:

Para la dirección hacia adelante .

Dado [math] ax + by = c [/ math] tiene solución entera. Para probar [matemáticas] mcd (a, b) | c. [/ Matemáticas]

Suponga [math] mcd (a, b) = k. [/ Math]

[matemáticas] \ por lo tanto a = kq [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto b = kr [/ matemáticas]

para algunos [math] q, r \ in \ mathbb {I} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto kqx + kry = c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto k (qx + ry) = c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto k | c \ Rightarrow mcd (a, b) | c. [/ matemáticas]

Por lo tanto, la prueba de dirección hacia adelante está completa.

Para la dirección inversa.

Dado [math] mcd (a, b) | c. [/ Math] Para probar [math] ax + by = c [/ math] tiene una solución entera.

Como [math] k [/ math] es el [math] mcd (a, b) [/ math] existen enteros [math] x ‘, y’ \ in \ mathbb {Z} [/ math] tales que [math ] ax ‘+ by’ = k. [/ math]

Además, [matemáticas] k | c \ Rightarrow c = kd [/ math] para algún número entero [math] d. [/ math]

[math] \ por lo tanto ax ‘+ by’ = k [/ math]

[math] \ por lo tanto d (ax ‘+ by’) = kd [/ math]

[matemática] \ por lo tanto a (dx ‘) + b (dy’) = c [/ matemática]

Implica que [math] ax + by = c [/ math] tiene una solución entera.

Esto prueba nuestro reclamo.

para la ecuación dada, [math] mcd (15,33) = 3 \ nmid 14. [/ math] Por lo tanto, no hay una solución entera.

Ecuación diofantina – Wikipedia

Answer 2

Ecuación de línea dada

33x + 15y = 14

15 años = -33x +14

y = – (33/15) x +14/15

Ahora compare la ecuación de la ecuación general de línea en forma de pendiente, es decir

Y = -mx + c

Por lo tanto, la línea dada pasa por el primer cuadrante, por lo tanto, tiene soluciones como tipo entero positivo

Por ejemplo

Deje un punto p (a, b) que se encuentra en línea. Podemos ver claramente que el punto p se encuentra en el primer cuadrante que es de tipo entero positivo.

Answer 3

Muestre que la ecuación dada tiene solución en enteros positivos. 33x + 15y = 14.?

No es. Sea [math] x [/ math] y [math] y [/ math] igual al entero positivo más pequeño – [math] 1 [/ math]:

[matemáticas] 33 \ veces 1 + 15 \ veces 1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] = 48> 14 [/ matemáticas]

Si quisieras que fueran no negativas en lugar de positivas, todavía no funcionaría.

Answer 4

¿Falta una tercera variable?

[matemática] 33x + 15y = 14 [/ matemática] significa [matemática] x = \ frac {14-15y} {33} [/ matemática] o [matemática] y = \ frac {14-33x} {15} [ /matemáticas]

Tanto la intercepción [matemática] x [/ matemática] en [matemática] y = \ frac {14} {15} [/ matemática], como la intercepción [matemática] y [/ matemática] en [matemática] x = \ frac {14} {33} [/ math] son ​​más pequeños que [math] 1 [/ math] aparte de esto, la línea va al menos uno de los valores debe ser negativo para que esta ecuación sea verdadera.

El gráfico lo deja en silencio claro.

Answer 5

En general, la ecuación [math] ax + by = c [/ math] tiene soluciones integrales positivas si [math] (a, b) \ mid c [/ math]. Esto significa que solo si el máximo factor común de a & b divide c, entonces la ecuación tiene infinitas soluciones. Aquí [matemáticas] 1 = (33,15) \ mediados de 14 [/ matemáticas] por lo que tiene soluciones. Sea [math] (x_0, y_0) [/ math] la solución integral positiva más pequeña en enteros, de modo que las siguientes soluciones están dadas por:

[matemáticas] x = x_0 + 15k, y = y_0–33k [/ matemáticas]

donde [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math].

Siempre hay una solución fundamental para una ecuación de diofantina tan lineal que tiene soluciones.

Answer 6

A2A, gracias.

Esta es una ecuación de una línea que tiene pendiente racional y una intersección y racional. Su resultado sigue.