Muestre que la ecuación dada tiene solución en enteros positivos. 33x + 15y = 14.?

La ecuación dada no tiene soluciones integrales.

Probaría una afirmación más genérica y más fuerte.

Reclamación: La ecuación [math] ax + by = c [/ math] tiene enteros si y solo si [math] mcd (a, b) | c. [/ Math]

Observe que funciona en ambos sentidos.

Prueba:

Para la dirección hacia adelante .

Dado [math] ax + by = c [/ math] tiene solución entera. Para probar [matemáticas] mcd (a, b) | c. [/ Matemáticas]

Suponga [math] mcd (a, b) = k. [/ Math]

[matemáticas] \ por lo tanto a = kq [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto b = kr [/ matemáticas]

para algunos [math] q, r \ in \ mathbb {I} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto kqx + kry = c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto k (qx + ry) = c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto k | c \ Rightarrow mcd (a, b) | c. [/ matemáticas]

Por lo tanto, la prueba de dirección hacia adelante está completa.

Para la dirección inversa.

Dado [math] mcd (a, b) | c. [/ Math] Para probar [math] ax + by = c [/ math] tiene una solución entera.

Como [math] k [/ math] es el [math] mcd (a, b) [/ math] existen enteros [math] x ‘, y’ \ in \ mathbb {Z} [/ math] tales que [math ] ax ‘+ by’ = k. [/ math]

Además, [matemáticas] k | c \ Rightarrow c = kd [/ math] para algún número entero [math] d. [/ math]

[math] \ por lo tanto ax ‘+ by’ = k [/ math]

[math] \ por lo tanto d (ax ‘+ by’) = kd [/ math]

[matemática] \ por lo tanto a (dx ‘) + b (dy’) = c [/ matemática]

Implica que [math] ax + by = c [/ math] tiene una solución entera.

Esto prueba nuestro reclamo.

para la ecuación dada, [math] mcd (15,33) = 3 \ nmid 14. [/ math] Por lo tanto, no hay una solución entera.

Ecuación diofantina – Wikipedia

Ecuación de línea dada

33x + 15y = 14

15 años = -33x +14

y = – (33/15) x +14/15

Ahora compare la ecuación de la ecuación general de línea en forma de pendiente, es decir

Y = -mx + c

Por lo tanto, la línea dada pasa por el primer cuadrante, por lo tanto, tiene soluciones como tipo entero positivo

Por ejemplo

Deje un punto p (a, b) que se encuentra en línea. Podemos ver claramente que el punto p se encuentra en el primer cuadrante que es de tipo entero positivo.

Muestre que la ecuación dada tiene solución en enteros positivos. 33x + 15y = 14.?

No es. Sea [math] x [/ math] y [math] y [/ math] igual al entero positivo más pequeño – [math] 1 [/ math]:

[matemáticas] 33 \ veces 1 + 15 \ veces 1 = [/ matemáticas]

[matemáticas] = 48> 14 [/ matemáticas]

Si quisieras que fueran no negativas en lugar de positivas, todavía no funcionaría.

¿Falta una tercera variable?

[matemática] 33x + 15y = 14 [/ matemática] significa [matemática] x = \ frac {14-15y} {33} [/ matemática] o [matemática] y = \ frac {14-33x} {15} [ /matemáticas]

Tanto la intercepción [matemática] x [/ matemática] en [matemática] y = \ frac {14} {15} [/ matemática], como la intercepción [matemática] y [/ matemática] en [matemática] x = \ frac {14} {33} [/ math] son ​​más pequeños que [math] 1 [/ math] aparte de esto, la línea va al menos uno de los valores debe ser negativo para que esta ecuación sea verdadera.

El gráfico lo deja en silencio claro.

En general, la ecuación [math] ax + by = c [/ math] tiene soluciones integrales positivas si [math] (a, b) \ mid c [/ math]. Esto significa que solo si el máximo factor común de a & b divide c, entonces la ecuación tiene infinitas soluciones. Aquí [matemáticas] 1 = (33,15) \ mediados de 14 [/ matemáticas] por lo que tiene soluciones. Sea [math] (x_0, y_0) [/ math] la solución integral positiva más pequeña en enteros, de modo que las siguientes soluciones están dadas por:

[matemáticas] x = x_0 + 15k, y = y_0–33k [/ matemáticas]

donde [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math].

Siempre hay una solución fundamental para una ecuación de diofantina tan lineal que tiene soluciones.

A2A, gracias.

Esta es una ecuación de una línea que tiene pendiente racional y una intersección y racional. Su resultado sigue.

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