La ecuación dada no tiene soluciones integrales.
Probaría una afirmación más genérica y más fuerte.
Reclamación: La ecuación [math] ax + by = c [/ math] tiene enteros si y solo si [math] mcd (a, b) | c. [/ Math]
Observe que funciona en ambos sentidos.
- Cómo resolver esta ecuación: [matemáticas] 101F + 20E-99D + 200I + 9H-9G = 0 [/ matemáticas] si todas las variables pueden ser enteros en el intervalo [matemáticas] [1, 9] [/ matemáticas]
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Prueba:
Para la dirección hacia adelante .
Dado [math] ax + by = c [/ math] tiene solución entera. Para probar [matemáticas] mcd (a, b) | c. [/ Matemáticas]
Suponga [math] mcd (a, b) = k. [/ Math]
[matemáticas] \ por lo tanto a = kq [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto b = kr [/ matemáticas]
para algunos [math] q, r \ in \ mathbb {I} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto kqx + kry = c [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto k (qx + ry) = c [/ matemáticas]
[matemáticas] \ por lo tanto k | c \ Rightarrow mcd (a, b) | c. [/ matemáticas]
Por lo tanto, la prueba de dirección hacia adelante está completa.
Para la dirección inversa.
Dado [math] mcd (a, b) | c. [/ Math] Para probar [math] ax + by = c [/ math] tiene una solución entera.
Como [math] k [/ math] es el [math] mcd (a, b) [/ math] existen enteros [math] x ‘, y’ \ in \ mathbb {Z} [/ math] tales que [math ] ax ‘+ by’ = k. [/ math]
Además, [matemáticas] k | c \ Rightarrow c = kd [/ math] para algún número entero [math] d. [/ math]
[math] \ por lo tanto ax ‘+ by’ = k [/ math]
[math] \ por lo tanto d (ax ‘+ by’) = kd [/ math]
[matemática] \ por lo tanto a (dx ‘) + b (dy’) = c [/ matemática]
Implica que [math] ax + by = c [/ math] tiene una solución entera.
Esto prueba nuestro reclamo.
para la ecuación dada, [math] mcd (15,33) = 3 \ nmid 14. [/ math] Por lo tanto, no hay una solución entera.
Ecuación diofantina – Wikipedia