¿Qué tan difícil es para un estudiante de matemáticas encontrar la fórmula de suma para ecuaciones cuadráticas?

Answer 1

Desde que obtuve estos resultados en mi clase de matemáticas hace cuatro días, creo que puedo responder esto bastante bien. La pregunta pregunta qué tan difícil es para un estudiante de matemáticas obtener el resultado, no qué tan difícil es para un matemático demostrarlo.

Se trata de cómo se introduce. Para empezar, es útil tener una idea clara de a qué estás tratando de llegar y por qué. A menudo, en matemáticas, la recompensa llega un poco más adelante, y en el caso de la suma de las raíces para un cuadrático, este es definitivamente el caso. No es difícil, per se, probar la conexión, dado que se le pide que lo haga, pero parece un poco inútil hacerlo. ¿Por qué debería importarnos la suma de las raíces, cuando podemos calcular directamente su valor? ¿Y cuándo querríamos crear una nueva cuadrática cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de esta? Parece deliberadamente abstracto e inútil. Los resultados realmente cobran importancia una vez que alcanzas los cúbicos y los cuartos, lo que te permite decir cosas sobre polinomios que de otro modo no podrías decir.

Cómo lo hicimos en clase fue simplemente configurar una cuadrática genérica de dos maneras diferentes: una escrita con factores para cada raíz (x-alpha) (x-beta) = 0 y la otra en el formato más general ax ^ 2 + bx + c = 0, luego al expandir el primero, compare los coeficientes para encontrar una fórmula que vincule la suma de las raíces con a, byc, y similar para el producto de las raíces. Podían hacerlo, pero no estaban convencidos de su valor. Eddie Woo (mira su canal en youtube) presenta esto como un ejemplo de mirar una idea matemática desde dos perspectivas diferentes para arrojar luz sobre diferentes aspectos de la misma. Y cómo encontrar sumas y productos de raíces funciona (e incluso da buenas respuestas) para las cuadráticas que no tienen raíces reales, que es más o menos lo que condujo al desarrollo de los números complejos.

Answer 2

Ver http://www.jick.net/~jess/misc/a …

Answer 3

Si te refieres a la suma de la fórmula de las raíces, es muy fácil.

Teorema: la suma de las raíces de una ecuación cuadrática [matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] es [matemáticas] \ frac {-b} {a}. [/matemáticas]

Prueba: según la fórmula cuadrática, las raíces de [matemáticas] y [/ matemáticas] están dadas por [matemáticas] \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2 -4ac}} {2a} [/ matemáticas] y [ matemáticas] \ frac {-b – \ sqrt {b ^ 2 -4ac}} {2a} [/ matemáticas].

Su suma es entonces [matemáticas] \ frac {(- b + \ sqrt {b ^ 2 -4ac}) + (-b – \ sqrt {b ^ 2 -4ac})} {2a} = \ frac {-2b} {2a} = \ frac {-b} {a}. [/matemáticas]

Answer 4

¿Qué quiere decir con “La fórmula de suma para ecuaciones cuadráticas”?

• ‘La fórmula cuadrática ”[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2–4ac}} {2a} [/ matemáticas] proviene de un ejercicio genérico’ Completando el cuadrado ‘.
• La fórmula para la suma de las raíces proviene de usar la fórmula para derivar las dos raíces y luego sumar. Las partes horribles simplemente se cancelan y le dan una respuesta muy simple.
• La fórmula para el enésimo término de una serie cuadrática se puede calcular con bastante facilidad mirando la tabla de diferencias y luego calculando expresiones para las diferencias de primer y segundo orden en términos de los primeros tres miembros de la serie y luego generalizando a n.
• El enésimo término es una función (bastante desagradable) en potencias hasta [matemáticas] n ^ 2 [/ matemáticas], por lo que la suma de n términos será una expresión aún más desagradable en términos de hasta [matemáticas] n ^ 3 [/ matemáticas], pero si eres cuidadoso y paciente no debería ser un problema