Deje que [matemática] S_n = \ sum \ limits_ {r = 1} ^ nr! r [/ matemáticas]
Para demostrar [matemáticas] S_n = (n + 1)! – 1 [/ math] es verdadero [math] \, \, \ forall \, n \ in \ mathbb {N} [/ math]
Lo demostraremos a través del método matemático de inducción.
Primero verifiquemos para [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas],
- ¿Cuál es la forma más fácil de factorizar [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]?
- El ángulo X está en el quad 2, el ángulo y está en el quad 1 de manera que senx = 24/25 y Cozy = 4/5. ¿Cuáles son los valores exactos para sin (XY), cos (X + y), cos2x y el ángulo 2x?
- ¿Cómo calcular en tu mente la gráfica de algo como f (x) / g (x)? Intuitivamente, ¿qué significa dividir dos funciones?
- ¿Cuál es el valor de -9/4 en la programación en C?
- ¿Existe una fórmula para encontrar todos los ceros reales de un polinomio que tenga más de 3 términos además de usar la división sintética?
[matemáticas] S_1 = 1! \ veces 1 = 1 [/ matemáticas]
Ahora encontremos el RHS de la declaración
R, HS [matemáticas] = (1 + 1)! – 1 = 2! – 1 = 2 – 1 = 1 [/ matemáticas]
¡Entonces la declaración [matemáticas] S_n = (n + 1)! – 1 [/ math] es verdadero para [math] n = 1 [/ math]
Suponemos que también es cierto para [matemáticas] n = k [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica S_k = (k + 1)! – 1 \, \, \, \, ———- (1) [/ matemáticas]
Ahora descubramos si la afirmación es verdadera para [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] S_ {k + 1} = \ sum \ limits_ {r = 1} ^ {k + 1} r! r [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum \ limits_ {r = 1} ^ {k} r! r + (k + 1)! (k + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = S_k + (k + 1)! (k + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (k + 1)! – 1 + (k + 1)! (k + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (k + 1)! (1 + k + 1) – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (k + 1)! (k + 2) – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (k + 2)! – 1 [/ matemáticas]
Entonces, por teorema de inducción matemática
[matemáticas] \ implica S_n = (n + 1)! – 1 [/ math] es verdadero [math] \, \, \ forall \, n \ in \ mathbb {N} [/ math]
