¿Cuál es la forma más fácil de factorizar [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]?

Answer 1

cómo factorizar trinomio

Supongo que quieres hacer esto para el álgebra de la escuela secundaria, resolviendo ecuaciones cuadráticas. En la práctica, solo intentas varias combinaciones en tu cabeza hasta que encuentres una que funcione. Si a = 1, entonces está buscando dos números de modo que su suma sea b y su producto sea c. Si los números no son demasiado grandes, generalmente puede hacerlo en su cabeza.

Aquí hay una forma ** sistemática ** de abordar el problema. Parece largo y complicado, pero en realidad no es tan difícil, solo lo escribí mucho:

Ejemplo: 3y² + y – 2
En general, esto es ay² + por + c

En este caso, a = 3, b = 1 y c = –2
Ahora, recuerde la ley distributiva: la escribiré usando otras letras para evitar confusiones.
(ry + s) (ty + u) = rty² + ((st) + (ur)) y + us. Puedes pensar en esto como “FOIL”. Recuerde, a, b, c, r, s, t y u son todos números, y y podría ser cualquier variable, como x. Simplemente evité usar el símbolo x para que no se confundiera con “veces”

El problema es encontrar r, s, t y u de manera que rt = a, (st + ur) = b, y us = c
a, byc ya se conocen, y hay 4 incógnitas pero solo 3 ecuaciones, entonces, ¿cómo puede encontrarlas? Como dije, en la práctica usas prueba y error; Aquí hay una manera sistemática de ver todas las posibilidades.

Comience mirando c. En este caso c = –2. Entonces hay cuatro posibilidades (tenga en cuenta que a veces habrá más de cuatro):
u = 2 y s = –1,
u = –2 y s = 1,
u = 1 y s = –2, y
u = –1 ys = 2,

Ahora intenta encontrar r y t para hacer rt = a y (st + ur) = b.
¿Cuáles son las opciones para r y t?
En este caso, rt = 3. De nuevo, hay cuatro opciones:
r = 3 y t = 1,
r = –3 yt = –1,
r = –1 yt = –3, y
r = 1 yt = 3

Entonces, hay 4 formas posibles de elegir u y sy hay 4 formas posibles de elegir r y t. Eso hace 16 formas posibles de elegir r, s, t y u. Desea (st + ur) = b.

Probemos las 16 formas una a la vez:
u = 2 y s = –1, r = 3 y t = 1 entonces (st + ur) = 5
u = 2 y s = –1, r = –3 yt = –1 entonces (st + ur) = –5
u = 2 y s = –1, r = –1 yt = –3 entonces (st + ur) = 1 BINGO
u = 2 y s = –1, r = 1 yt = 3 entonces (st + ur) = –1

u = –2 y s = 1, r = 3 y t = 1 entonces (st + ur) = –5
u = –2 y s = 1, r = –3 y t = –1 entonces (st + ur) = 5
u = –2 y s = 1, r = –1 yt = –3 entonces (st + ur) = –1
u = –2 y s = 1, r = 1 yt = 3 entonces (st + ur) = 1 también a la derecha

u = 1 y s = –2, r = 3 y t = 1 entonces (st + ur) = 1 también a la derecha
u = 1 y s = –2, r = –3 y t = –1 entonces (st + ur) = –1
u = 1 y s = –2, r = –1 yt = –3 entonces (st + ur) = 5
u = 1 y s = –2, r = 1 yt = 3 entonces (st + ur) = –5

u = –1 y s = 2, r = 3 y t = 1 entonces (st + ur) = –1
u = –1 y s = 2, r = –3 y t = –1 entonces (st + ur) = 1 también a la derecha
u = –1 y s = 2, r = –1 yt = –3 entonces (st + ur) = –5
u = –1 y s = 2, r = 1 yt = 3 entonces (st + ur) = 5

Puede detenerse tan pronto como encuentre uno que funcione. Verás que los cuatro golpes son realmente lo mismo.

Tenemos 4 hits:

(ry + s) (ty + u) = (–1y –1) (- 3y + 2) = 3y ^ 2 + y –2 (A)
(ry + s) (ty + u) = (1y +1) (+ 3y + –2) = 3y ^ 2 + y –2 (B)
(ry + s) (ty + u) = (3y –2) (1y + 1) = 3y ^ 2 + y –2 (C)
(ry + s) (ty + u) = (–3y +2) (- 1y + –1) = 3y ^ 2 + y –2 (D)

Pero tenga en cuenta que en realidad son lo mismo, porque A y D son los mismos factores; B es el negativo de A y C es el negativo de D

Answer 2

Suponiendo que [math] a \ neq 1 [/ math], entonces

[matemáticas] a ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = [/ matemáticas] ([matemáticas] x- \ frac {-b + \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas])

[matemáticas] × [/ matemáticas] ([matemáticas] x- \ frac {-b- \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]).

La fórmula cuadrática se usa aquí.

Una vez que descubra cómo deshacer el método FOIL (“unFOIL”), no necesitará esto.

Answer 3

¿Cuál es la forma más fácil de factorizar ax² + bx + c?

A menudo me ha parecido esto complicado, pero hay pequeñas formas que a veces lo hacen más fácil.

Lo primero que hago es sumar los coeficientes a, by c. Si la suma = 0, uno de los factores debe ser (x-1). En realidad, las probabilidades de que esto ocurra no son buenas.

También es generalmente más fácil cuando a = 1 o cuando a es un número primo porque esto da el coeficiente de una de las x.

Cuando a = 1, a menudo no es demasiado difícil averiguar qué dos números se pueden multiplicar para dar c y sumar para dar b.

Esto, por supuesto, supone que la expresión se puede factorizar con números enteros. Muchos no pueden

Por supuesto, se vuelve más complicado cuando tiene dos coeficientes no primos que son mayores que 1 porque aumenta el número de combinaciones.

De todos modos, hay personas mucho mejor calificadas que yo en este foro, así que espero que alguien dé mejores consejos.

Answer 4

2ax = -b ± √Δ

ax² + bx + c = ¼a (2ax + b + √Δ) (2ax + b-√Δ)