¿Cómo se puede demostrar que [matemática] (1+ \ omega + \ omega ^ 2) ^ 8 = 256 \ omega [/ matemática], donde [matemática] \ omega [/ matemática] es una de las raíces complejas del cubo de [matemática] 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

Como esta pregunta ha sido etiquetada en la sección de números complejos, voy a asumir que w será [math] \ omega [/ math]

ahora, las raíces cúbicas de las unidades son las siguientes

[matemáticas] 1, \ frac {-1-i \ sqrt {3}} {2} \ y \ \ frac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

las raíces cúbicas de la unidad que no son una pueden representarse por [math] \ omega [/ math] y [math] \ omega ^ 2 [/ math]. Una propiedad de las raíces cúbicas de la unidad es que la suma del cubo raíces de la unidad es cero, es decir

[matemáticas] 1+ \ omega + \ omega ^ 2 = 0 \ etiqueta * [] [/ matemáticas]

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llegando a la pregunta en cuestión, tenemos que demostrar que [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] 1+ \ omega + \ omega ^ 2) ^ 8 = 256 \ omega [/ matemáticas]

[matemáticas] (1+ \ omega + \ omega ^ 2) ^ 8 = 256 \ omega \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemática] La \ sum \ of \ the \ cube \ roots \ of \ unity \ are \ zero \ tag * {} [/ math]

[math] \ Rightarrow (0) ^ 8 = 256 \ omega \ tag * {} [/ math]

ahora, en el LHS tenemos cero, mientras que en el RHS tenemos [matemáticas] 256 \ omega [/ matemáticas]. Volviendo a donde hablamos sobre el valor de [matemáticas] \ omega [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] 0 = 256 \ veces \ frac {-1-i \ sqrt {3}} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] o \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemática] 0 = 256 \ veces \ frac {-1 + i \ sqrt {3}} {2} \ tag * {} [/ matemática]

Esto simplemente no es cierto ya que [math] 0 = 0 [/ math] y no [math] 0 = any \ other \ number [/ math].

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En conclusión, [matemáticas] (1+ \ omega + \ omega ^ 2) ^ 8 = 256 \ omega [/ matemáticas] no se puede demostrar que sea cierto.

Answer 2

Como [matemáticas] 1+ \ omega + \ omega ^ 2 = 0 [/ matemáticas], por lo tanto;

[matemáticas] (1+ \ omega + \ omega ^ 2) ^ 8 = (0) ^ 8 = 0 \ ne 256 \ omega [/ matemáticas]

Sin embargo, si quisiera preguntar cómo [matemáticas] (1+ \ omega- \ omega ^ 2) ^ 8 = 256 \ omega [/ matemáticas]:

[matemáticas] (1+ \ omega- \ omega ^ 2) ^ 8 = (- \ omega ^ 2- \ omega ^ 2) ^ 8 = (-2 \ omega ^ 2) ^ 8 = (-2) ^ 8 \ veces (\ omega ^ 2) ^ 8 = 256 {\ omega} ^ {16} = 256 (\ omega ^ 3) ^ 5 \ veces {\ omega} = 256 \ omega [/ matemáticas]

También:

[matemáticas] (- 1- \ omega + \ omega ^ 2) ^ 8 = (\ omega ^ 2 + \ omega ^ 2) ^ 8 = (2 \ omega ^ 2) ^ 8 = (2) ^ 8 \ times (\ omega ^ 2) ^ 8 = 256 {\ omega} ^ {16} = 256 (\ omega ^ 3) ^ 5 \ times {\ omega} = 256 \ omega [/ math]

Answer 3

Calcularlo?

Veamos;

(1 + w + w ^ 2) ^ 8 =
= (1 + w + ww) (1 + w + ww) (1 + w + ww) (1 + w + ww) (1 + w + ww) (1 + w + ww) (1 + w + ww) (1 + w + ww) =

= 1 ^ 8 + w ^ 8 + (w ^ 8) (w ^ 8) =

= 1 + w ^ 8 + w ^ 8 ^ 2 =

= 1 + w ^ 8 + (w ^ 8) (w ^ 8) =

= 1 + w ^ 8 + w ^ 16 =

= 1 + (w ^ 8) (w ^ 8 + 1) (Según wolfram alpha)

Bueno … mi energía se agota) =

Espero que puedas simplificarlo más, es interesante.

Voy a grillby’s.

Answer 4

Solo puedes probar algo que es correcto. Pero esto no es.

Enchufe [math] w = 0 [/ math] o [math] w = 1 [/ math] o cualquier otra cosa que desee y compruébelo usted mismo.

Salud.

Answer 5

¿Hay alguna restricción sobre w que no haya mencionado? Puedo refutarlo con algunos ejemplos de contador. Para todos los valores negativos de w, el lado izquierdo es positivo mientras que el lado derecho es negativo. Para w = 0, 1 ^ 8 ≠ 0, para w = 1, 3 ^ 8 ≠ 256, etc.

Tiene algunas raíces reales. Si defino f (w) como la diferencia entre los lados izquierdo y derecho, y evalúo f (0), f (0.5), f (1), hay un cambio de signo entre 0 y 0.5, y otro entre 0.5 y 1 , por lo que hay al menos dos raíces reales. Para w> 1, f (w) es un número positivo creciente, por lo que todas las raíces reales se encuentran entre 0 y 1. No me importa lo suficiente como para encontrarlas. Debe haber una manada de raíces complejas.

Editar: Fácil de combinar el método de Newton en Excel y encontrar las dos raíces reales,

w = 0.004 034 651 y 0.552 075 738

f ‘(w) tiene un cero en w = 0.374 493 246 yf’ ‘(w)> 0 para todo w, así que no hay otras raíces reales. No estoy buscando las raíces complejas.