Cómo escribir una función polinómica del menor grado que tenga coeficientes racionales, un coeficiente principal de 1 y dados ceros 3 y 4 + I

Answer 1

Supongo que todo esto está en [matemáticas] \ C [/ matemáticas].

Tendré que simular sobre [matemáticas] 4 + i [/ matemáticas] y su conjugado eventualmente, así que hagámoslo ahora:

[matemáticas] (x – 3) (x – (4 + i)) (x – (4 – i)) [/ matemáticas]

Es inmediato que los coeficientes resultantes serán todos enteros, y el coeficiente principal ya es [math] 1 [/ math].

Solo una última cosa que hacer, ya que lo solicitó, y eso es definir una función adecuada:

[matemáticas] f: \ C \ mapsto \ C: \ forall x \ in \ C \, f (x) = (x – 3) (x – (4 + i)) (x – (4 – i)) = (x – 3) ((x – 4) ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Está claro que podríamos hacer esto en varios subcampos, e incluso subanillos, de [math] \ C [/ math]. Como un extremo absurdo, no tenemos que tener un dominio aparte de los dos ceros dados, y luego podemos recortar el codominio de nuevo a solo [math] \ {0 \} [/ math]. Todas las diferentes opciones de dominio y codominio definen diferentes funciones, cualquier otra cosa permanece igual.

Answer 2

Supongo que estamos buscando un polinomio con coeficientes reales. Entonces, si 4 + i es una raíz, 4-i también es una raíz. La tercera raíz debe ser 3, y si elegimos que tenga solo 3 raíces, será de grado 3 (mínimo). El coeficiente principal es 1, por lo tanto

[matemáticas] f (x) = 1 (x-3) [x- (4 + i)] [x- (4-i)] = x ^ 3–11x ^ 2 + 41x-51 [/ matemáticas].

Answer 3

si 4 + i es un cero, entonces el conjugado de 4 – i también es un cero.

Esto lo convierte en un polinomio de cuarto grado con factores (x – 1) (x – 3) (x – 4 – i) (x – 4 + i)

(x ^ 2 – 4x + 3) (x ^ 2 + 16) = x ^ 4 – 4x ^ 3 + 19x ^ 2 – 64x + 48