Cuando [matemática] A (x) [/ matemática] es un polinomio cúbico y [matemática] B (x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) [/ matemática], ¿cuántos [matemática] C (x) [/ matemáticas] puede satisfacer [matemáticas] B (C (x)) = B (x) \ cdot A (x) [/ matemáticas]?

Answer 1

[matemática] B (C (x)) = B (x) A (x) [/ matemática] que es de orden [matemática] 6 [/ matemática], por lo tanto, como [matemática] B [/ matemática] es de orden [ matemática] 3 [/ matemática], [matemática] C [/ matemática] debe ser de orden [matemática] 2 [/ matemática].

Hay un teorema que dice que un polinomio de orden [matemática] n [/ matemática] se define de manera única cuando conocemos su valor para [matemática] n + 1 [/ matemática] puntos diferentes; para definir [matemáticas] C [/ matemáticas], por lo tanto, tenemos que saber qué valor toma en [matemáticas] 3 [/ matemáticas] puntos diferentes.

Adicionalmente:

[matemáticas] B (C (1)) = B (1) A (1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (C (1) – 1) (C (1) – 2) (C (1) – 3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] B (C (2)) = B (2) A (2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (C (2) – 1) (C (2) – 2) (C (2) – 3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] B (C (3)) = B (3) A (3) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (C (3) – 1) (C (3) – 2) (C (3) – 3) = 0 [/ matemáticas]

En consecuencia, para cada [matemática] x \ in \ {1, 2, 3 \} [/ matemática], [matemática] (C (x) – 1) (C (x) – 2) (C (x) – 3 ) = 0 [/ matemática], que significa [matemática] C (x) = 1 [/ matemática] o [matemática] C (x) = 2 [/ matemática] o [matemática] C (x) = 3 [/ matemática ]

Esto significa que a lo sumo [math] 9 [/ math] polinomios [math] C [/ math] que verifican la hipótesis:

[matemáticas] \ matemáticas {S} = \ {C \ in \ R_2 [X], C (x) \ in \ {1,2,3 \} \ forall x \ in \ {1,2,3 \} \ }[/matemáticas].

Obviamente, esta es una condición necesaria pero no suficiente.

Puede haber [matemática] A [/ matemática] sin una posible solución [matemática] C [/ matemática]:

[matemáticas] B (0) = -6 [/ matemáticas]

Debido a que [math] \ mathcal {S} [/ math] es finito, podemos calcular [math] \ max \ {| B (C (0)) |, C \ in \ mathcal {S} \} [/ math] . Llamemos a este valor [math] M [/ math].

Cualquier [matemática] A [/ matemática] como [matemática] A (0) \ geq M [/ matemática] verificará que [matemática] | B (0) A (0) | \ geq 6M> | B (C (0)) | [/ math], por lo tanto, la igualdad nunca puede ser satisfecha.

Sin embargo, es imposible que una sola [matemática] A [/ matemática] funcione con todos los valores posibles de [matemática] C [/ matemática].

[matemáticas] C (x) = 1 [/ matemáticas] es una solución; para este, tendríamos [matemáticas] B (C (x)) = B (1) = 0 = A (x) B (x) [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] A [/ matemáticas] debe ser igual a [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Sin embargo, [matemáticas] C (x) = x [/ matemáticas] también es una solución; para este, tendríamos [matemáticas] B (C (x)) = B (x) = A (x) B (x) [/ matemáticas], lo que significa que [matemáticas] A (x) [/ matemáticas] debe ser igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Answer 2

En primer lugar, [matemática] C (x) [/ matemática] debe ser un polinomio cuadrático, ya que [matemática] B (x) \ cdot A (x) [/ matemática] es del orden 6. Con respecto a [matemática] A (x) [/ math] como un polinomio fijo, permite que [math] C (x) = \ alpha x ^ 2 + \ beta x + \ gamma [/ math], conéctelo a [math] B [C (x )] [/ matemática] y compare los coeficientes de cada término de diferentes órdenes en ambos lados de la ecuación.

Apenas puedo decir cuántos polinomios [matemáticos] C (x) [/ matemáticos] existen. Creo que depende de la solución del conjunto de ecuaciones construido comparando coeficientes.