Cómo resolver y ‘+ xy = x

Esta es una ecuación diferencial separable de primer orden:

[matemática] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + xy = x \ Longrightarrow \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = x – xy \ tag * {} [/ math]

Podemos factorizar una [matemática] x [/ matemática] desde el lado derecho:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = x (1-y) \ tag * {} [/ math]

Dividiendo por [math] 1-y [/ math] y multiplicando por [math] \ mathrm {d} x: [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {1-y} = x \, \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

Integrando en ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} y} {1-y} = \ int x \, \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Longrightarrow – \ ln (1-y) = \ frac {1} {2} x ^ 2 + C_1 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ Longrightarrow \ ln (1-y) = – \ frac {1} {2} x ^ 2 + C_1 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Longrightarrow 1-y = e ^ {- \ frac {1} {2} x ^ 2 + C_1} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ Longrightarrow \ boxed {y = 1 – e ^ {- \ frac {1} {2} x ^ 2 + C_1} = 1 – C_2 e ^ {- \ frac {1} {2} x ^ 2} \, \ text {where} \, C_2 = e ^ {C_1}} \ tag * {} [/ math]

Este es un buen ejemplo donde puede “separar las variables”.

Sería aceptable detenerse en este punto si no tiene condiciones iniciales.

Realmente, normalmente tendría algunas condiciones iniciales que podría utilizar para encontrar la constante ” c “.

Sin estos, preferiría llamar a ” c ‘ algo así como” – ln (b) “y luego combinar los registros.

Esto probablemente haría que las cosas se vean mejor, pero cambiar el tema a ” y ” sigue siendo problemático.

Gracias por el A2A!

Resta [math] xy [/ math] de ambos lados:

[matemáticas] y ‘= x-xy [/ matemáticas]

Factorizar el RHS:

[matemáticas] y ‘= x (1-y) [/ matemáticas]

Dividiendo ambos lados por [matemática] 1-y [/ matemática]:

[matemáticas] \ frac {y ‘} {1-y} = x [/ matemáticas]

Integrando ambos lados con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] – \ ln {| 1-y |} + C_1 = \ frac {x ^ 2} {2} + C_2 [/ matemáticas]

Restando [matemática] C_1 [/ matemática] de ambos lados y simplificando constantes:

[matemáticas] – \ ln {| 1-y |} = \ frac {x ^ 2} {2} + C [/ matemáticas]

Puedes resolver [math] y [/ math] desde aquí.

Voy a reescribir y ‘= dy / dx.

primero, aislar las xs y ys:

dy / dx = x-xy = x (1-y)

dy / (1-y) = xdx

luego integre ambos lados:

-ln (1-y) = x ^ 2/2 + C

y resuelve para y:

1-y = e ^ (- x ^ 2/2 + C)

y = 1 – e ^ (- x ^ 2/2 + C) = 1-De ^ (- x ^ 2/2)

donde D = e ^ C

Simplemente pase XY al otro lado, factorice X y la ecuación se convertirá en: dy / dx = x (1-y). Luego pase dx al lado derecho y pase (1-y) al lado izquierdo. Finalmente integramos ambos lados (lado izquierdo con respecto a Y y lado derecho con respecto a X).

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = y ‘= x-xy = x (1-y) [/ matemáticas]

entonces, [math] \ int \ frac {dy} {1-y} = \ int xdx [/ math]

entonces, [matemáticas] ln | 1-y | = \ frac {1} {2} x ^ 2 + C [/ matemáticas]

o, [matemáticas] y = 1 \ pm e ^ {- \ frac {1} {2} x ^ 2 + C} [/ matemáticas]

Publico esta respuesta, porque creo que hay algunos errores menores en las respuestas de otros.