Esta es una ecuación diferencial separable de primer orden:
[matemática] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + xy = x \ Longrightarrow \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = x – xy \ tag * {} [/ math]
Podemos factorizar una [matemática] x [/ matemática] desde el lado derecho:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = x (1-y) \ tag * {} [/ math]
- Cuando [matemática] A (x) [/ matemática] es un polinomio cúbico y [matemática] B (x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) [/ matemática], ¿cuántos [matemática] C (x) [/ matemáticas] puede satisfacer [matemáticas] B (C (x)) = B (x) \ cdot A (x) [/ matemáticas]?
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Dividiendo por [math] 1-y [/ math] y multiplicando por [math] \ mathrm {d} x: [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} y} {1-y} = x \, \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]
Integrando en ambos lados:
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} y} {1-y} = \ int x \, \ mathrm {d} x \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ Longrightarrow – \ ln (1-y) = \ frac {1} {2} x ^ 2 + C_1 \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ Longrightarrow \ ln (1-y) = – \ frac {1} {2} x ^ 2 + C_1 \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ Longrightarrow 1-y = e ^ {- \ frac {1} {2} x ^ 2 + C_1} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ Longrightarrow \ boxed {y = 1 – e ^ {- \ frac {1} {2} x ^ 2 + C_1} = 1 – C_2 e ^ {- \ frac {1} {2} x ^ 2} \, \ text {where} \, C_2 = e ^ {C_1}} \ tag * {} [/ math]