¿Qué es [math] \ displaystyle \ int \ frac {x ^ 9} {(4x ^ 2 + 1) ^ 6} dx [/ math]?

Answer 1

Deje que [math] I = [/ math] [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 9} {(4x ^ 2 + 1) ^ 6} \ dx [/ math]

Saquemos [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] del denominador que tenemos

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int \ dfrac {x ^ 9} {\ left (x ^ 2 \ left (4+ \ dfrac {1} {x ^ 2} \ right) \ right) ^ 6} \ dx [ /matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I = \ displaystyle \ int \ dfrac {\ dfrac {1} {x ^ 3}} {\ left (4+ \ dfrac {1} {x ^ 2} \ right) ^ 6} \ dx [ /matemáticas]

Ahora sustituya [matemáticas] 4+ \ dfrac {1} {x ^ 2} = t [/ matemáticas]

Diferenciando ambos lados tenemos

[matemáticas] \ dfrac {2} {x ^ 3} \ dx = – \ dt [/ matemáticas]

Ahora, después de sustituir [matemáticas] I [/ matemáticas] se convierte en

[matemáticas] \ por lo tanto I = \ dfrac {-1} {2t ^ 6} \ dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I = \ dfrac {t ^ 5} {10} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I = \ dfrac {\ left (4+ \ dfrac {1} {x ^ 2} \ right) ^ 5} {10} + C [/ math]

Y así es como se hace

Answer 2

Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {x ^ 9} {(4x ^ 2 + 1) ^ 6} \, dx [/ math]

Supongamos que [math] \ displaystyle 2x = \ tan (y) [/ math]

[math] \ displaystyle \ implica 2x = \ sec ^ 2 (y) \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {\ tan ^ 9 (y) \ sec ^ 2 (y)} {2 ^ {10} (\ tan ^ 2 (y) + 1) ^ 6} \, dy [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ tan ^ 9 (y) \ sec ^ 2 (y)} {2 ^ {10} \ sec ^ {12} (y)} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ tan ^ 9 (y)} {2 ^ {10} \ sec ^ {10} (y)} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sin ^ 9 (y) \ cos (y)} {2 ^ {10}} \, dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {\ sin ^ 9 (y)} {2 ^ {10}} \, d (\ sin (y) [/ math]

[math] \ displaystyle = \ dfrac {\ sin ^ {10} (y)} {10 \ times 2 ^ {10}} [/ math]

Como [matemáticas] \ displaystyle 2x = \ tan (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {2x} = \ cot (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {4x ^ 2} = \ cot ^ 2 (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {4x ^ 2} + 1 = \ cot ^ 2 (y) + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1 + 4x ^ 2} {4x ^ 2} = \ csc ^ 2 (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {2x} {\ sqrt {1 + 4x ^ 2}} = \ sin (y) [/ math]

Al poner el valor de [math] \ sin (y) [/ math] en [math] I [/ math], obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {2 ^ {10} x ^ {10}} {10 \ veces 2 ^ {10} (\ sqrt {1 + 4x ^ 2}) ^ {10}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \, \, \ bbox [#AFA] {I = \ dfrac {x ^ {10}} {10 (1 + 4x ^ 2) ^ 5} + C} [/ matemáticas]

Answer 3

Tome x ^ 2 común del denominador y sustituya 4 + 1 / x ^ 2 = t (digamos). Entonces proceda.

Puedes obtener tu respuesta.