¿Cuán inteligente tendría que ser un niño de trece años para demostrar que la raíz cuadrada de dos es irracional?

Answer 1

A los trece años, sería notable, pero no inviable, idear una prueba. Sin embargo, un niño de trece años bien enseñado podría tener una buena comprensión de los números primos, la división y las raíces, y por lo tanto ser capaz de comprender y explicar una prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.

Una de las pruebas más simples de esto, y una que debería ser comprensible y de hecho agradable para un niño de trece años matemáticamente experto, es la siguiente:

Lema: [matemáticas] \ sqrt {2} [/ matemáticas] no es racional

Prueba:

Suponga que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional, por lo que puede escribirse como [math] \ frac {p} {q} [/ math] para algunos enteros [math] p, q [/ math] . Tomemos esta fracción en sus términos más bajos, es decir, si [math] p [/ math] y [math] q [/ math] tienen algún factor común, dividamos tanto [math] p [/ math] como [math ] q [/ math] por esos factores, lo que deja la fracción [math] \ frac {p} {q} [/ math] sin cambios en valor, hasta que [math] p [/ math] y [math] q [/ math ] no tienen factores comunes.

Ahora [matemáticas] \ sqrt {2} = \ frac {p} {q} \ \ por lo tanto 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} \ \ por lo tanto p ^ 2 = 2q ^ 2 [/ matemáticas].

Entonces [math] p ^ 2 [/ math] es un múltiplo de [math] 2 [/ math], y también es par, y por lo tanto [math] p [/ math] también debe ser par (ya que el cuadrado de un impar el número siempre es impar). Digamos [math] p = 2m [/ math] para algún número entero [math] m [/ math].

Ahora [matemática] p = 2m \ \ por lo tanto p ^ 2 = 4m ^ 2 = 2q ^ 2 \ \ por lo tanto q ^ 2 = 2m ^ 2 [/ matemática].

Entonces [math] q ^ 2 [/ math] también es un múltiplo de [math] 2 [/ math], y también es par, y por lo tanto [math] q [/ math] debe ser par, y esto significa [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son ​​ambos múltiplos de [math] 2 [/ math] que contradice nuestra toma [math] p [/ math] y [math] q [/ math] como no tener factores comunes. Esta contradicción significa que nuestra premisa original: que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional y puede escribirse como [math] \ frac {p} {q} [/ math] – debe ser falsa. Entonces [math] \ sqrt {2} [/ math] no es racional QED

Answer 2

Los niños de 13 años deberían poder seguir una prueba, pero presentar una prueba es más difícil.

Llegar a la pregunta de si [math] \ sqrt2 [/ math] es racional o no es aún más difícil, pero supondré que esa pregunta se ha planteado. Eso requeriría proponer el concepto de números racionales, que, hasta donde yo sé, solo se hizo una vez en la historia de la humanidad. (El resto de nosotros lo escuchamos de quienes ya lo sabían).

El mayor impedimento para obtener una prueba es comprender el concepto de prueba y, en particular, cómo demostrar que algo no existe.

Todos los niños de 13 años saben un poco de álgebra, y todos entienden el concepto de números pares e impares. La mayoría ha visto números primos, y muchos creen que cada número entero se puede escribir de una sola manera como producto de números primos. Así que los fundamentos de la teoría de números están ahí.

Por otro lado, los conceptos de números racionales e irracionales pueden ser nuevos para los niños de 13 años. Sin embargo, algunos han encontrado esos conceptos. Un número racional es el cociente de dos números enteros. Un número irracional no es el cociente de dos números enteros.

Todos los ingredientes están ahí para una prueba, pero se necesita algo de experiencia con las pruebas para construir una que demuestre que [math] \ sqrt2 [/ math] no es racional. Esa experiencia con las pruebas podría provenir del estudio de las pruebas en geometría plana.

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Aquí hay una de varias pruebas diferentes de que [math] \ sqrt2 [/ math] no es racional.

Primero, suponga que [math] \ sqrt2 = m / n [/ math]. ¿Por qué harías eso? Porque has visto pruebas de este tipo antes. Para mostrar que algo es falso, puede asumir que es cierto y luego derivar una contradicción.

Reescribe esa ecuación como [math] n \ sqrt2 = m [/ math]. ¿Por qué harías eso? Es un paso común para resolver ecuaciones.

Luego cuadra esa ecuación para obtener [matemáticas] 2n ^ 2 = m ^ 2 [/ matemáticas]. ¿Por qué harías eso? Es otro paso común para resolver ecuaciones que tienen raíces cuadradas en ellas. Se deshace de las raíces cuadradas.

Se necesita un poco de ingenio aquí. [matemáticas] n [/ matemáticas] es un producto de algún número de números primos. [matemáticas] n ^ 2 [/ matemáticas] es el cuadrado de ese producto, por lo que tiene el doble de números primos en su factorización prima; ese número es par. Del mismo modo [math] m ^ 2 [/ math], al ser un cuadrado, tiene un número par de números primos en su factorización prima. Por lo tanto, [matemática] 2m ^ 2 [/ matemática] tiene un número impar de números primos en su factorización. Pero el número [matemáticas] n ^ 2 = 2m ^ 2 [/ matemáticas] no puede tener tanto un número par de factores primos como un número impar de factores primos, una contradicción.

Dado que la suposición de que [math] \ sqrt2 [/ math] es un número racional condujo a una contradicción, por lo tanto, [math] \ sqrt2 [/ math] es irracional.

Answer 3

Para probar que la raíz cuadrada de [math] 2 [/ math] es irracional solo requiere la notación y el pensamiento lógico. Mostraré la prueba sin usar demasiados símbolos y terminología:

Sabemos que un número racional se puede escribir como una fracción donde el numerador y el denominador son enteros sin factores comunes. Llamemos al numerador [math] p [/ math] y al denominador [math] q [/ math], y supongamos que [math] \ sqrt {2} [/ math] es racional:

[matemáticas] \ sqrt {2} = \ dfrac {p} {q} \ tag * {} [/ matemáticas]

Cuadrando ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle 2 = \ frac {p ^ 2} {q ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] q ^ 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] p ^ 2 = 2q ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Como la definición de un número par es que [matemática] 2 [/ matemática] entra en ella, [matemática] p ^ 2 [/ matemática] es par, con [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] q ^ 2 [/ matemáticas] como factores. Como [math] p ^ 2 [/ math] es par, entonces [math] p [/ math] es par.

Lema: si [math] a ^ 2 [/ math] es par, entonces [math] a [/ math] es par.

Prueba: suponga que [math] a ^ 2 [/ math] es par y [math] a [/ math] es impar. Entonces [math] a [/ math] puede escribirse como uno más que un número par, o [math] a = 2n + 1 [/ math]. Entonces:

[matemáticas] a ^ 2 = (2n + 1) ^ 2 = 4n ^ 2 + 4n + 1 = 2 (2n ^ 2 + 2n) +1 \ tag * {} [/ matemáticas]

Entonces, si [math] a ^ 2 [/ math] es par, entonces [math] a [/ math] no puede ser impar y, por lo tanto, [math] a [/ math] es par.

Como [math] p [/ math] es par, se puede escribir como [math] 2k [/ math]. Entonces:

[matemáticas] p ^ 2 = (2k) ^ 2 = 4k ^ 2 = 2q ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]

Dividiendo ambos lados por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] q ^ 2 = 2k ^ 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Usando la misma lógica, [math] q [/ math] es par, lo cual es una contradicción. Antes dijimos que [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] no tienen factores comunes, pero ahora hemos llegado a que [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] son ambos pares, o tienen un factor común de [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Entonces [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional usando álgebra básica y sentido común.

Answer 4

En realidad es una prueba simple, pero se necesitaría algo de ingenio para que un niño de 13 años lo invente de forma independiente. Vea las primeras páginas de Principios de análisis matemático de Rudin para una prueba directa. Sería fácil para un niño de 13 años seguir y comprender la prueba.

Answer 5

No muy. Necesitas saber qué es una raíz cuadrada y una sustitución algebraica. Si se les dice lo primero y se les da a conocer lo último antes de los 7 años, el niño promedio de 7 años no debería tener dificultades para seguir la prueba griega. Espero que un niño de 11 años pueda derivarlo sin recurrir a la memoria.

Answer 6

No mucho, es bastante sentido común incluso antes de esta edad, desde el momento en que escuchas sobre la raíz cuadrada que la mayoría de la gente lo tiene. Solo mira cuán simple es cuando lo piensas

2 no se puede dividir prácticamente por dos de los mismos números

WOAH QUE CHICOS UN GENIO

Lo se, lo se, no hay necesidad de recordarme