Cómo probar la identidad matemática [matemáticas] 2 \ int \ limits_0 ^ {\ infty} dx ({1 \ over x} – {1 \ over {\ sqrt {x ^ 2 + 1}}}) {\ rm sinh} ^ {-1} x = {\ pi ^ 2 \ over 6} = \ zeta (2) [/ math]

Answer 1

Este es uno de esos problemas pidiendo una sustitución hiperbólica. Deje [math] x = \ sinh {u} [/ math]. Una vez que hayas hecho eso, obtendrás

[matemáticas] \ displaystyle 2 \ int_0 ^ {+ \ infty} \! u \ left (\ frac {1} {\ sinh {u}} – \ frac {1} {\ cosh {u}} \ right) \ cosh {u} \, du [/ math]

que se simplifica a

[matemáticas] \ displaystyle 4 \ int_0 ^ {+ \ infty} \! \ frac {ue ^ {- u}} {e ^ {u} – e ^ {- u}} \, du [/ math]

o

[matemáticas] \ displaystyle 4 \ int_0 ^ {+ \ infty} \! \ frac {ue ^ {- 2u}} {1 – e ^ {- 2u}} \, du [/ math]

A partir de aquí, escribimos la integral como una serie geométrica infinita. El teorema de convergencia monótono nos permite cambiar los procesos de límite e integración. En particular, tenemos de una rutina IBP / sub + integral gamma,

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {+ \ infty} \! ue ^ {- 2ku} \, du = \ frac {1} {4k ^ 2} [/ math]

y entonces

[matemáticas] \ displaystyle 4 \ int_0 ^ {+ \ infty} \! \ frac {ue ^ {- 2u}} {1 – e ^ {- 2u}} \, du = \ sum_ {k = 1} ^ {+ \ infty} \ frac {1} {k ^ 2} = \ zeta (2) [/ matemáticas]

como se desee.

De hecho, un resultado más general que resuelve instantáneamente esta integral:

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {+ \ infty} \! \ frac {x ^ {k-1}} {e ^ x – 1} \, dx = \ Gamma (k) \ zeta (k) [/ math]

donde [matemáticas] \ Re (k)> 1. [/ matemáticas]