No hay ninguno
El conjunto [math] \ {x \ in \ R, 0 <x <1 \} [/ math], también escrito como [math] (0, 1) [/ math], no tiene ningún máximo.
Hay tres nociones que no debemos confundir (consideraré un conjunto de números reales [matemática] S \ subconjunto \ R [/ matemática]):
- Mínimo y máximo : un máximo (mínimo) de un conjunto [matemática] S [/ matemática] es un elemento [matemática] M [/ matemática] ([matemática] m [/ matemática]) de [matemática] S [/ matemática] como cualquier otro elemento es menor (mayor) o igual a [matemática] M [/ matemática] ([matemática] m [/ matemática]). Matemáticamente, [math] M \ en S [/ math] es un máximo si [math] \ forall x \ in S, x \ leq M [/ math] y [math] m \ in S [/ math] es un mínimo if [math] \ forall x \ en S, x \ geq m [/ math]. Dado un conjunto [matemática] S [/ matemática], no siempre hay un mínimo ni un máximo.
- Límite superior e inferior : un límite superior (inferior) de un conjunto [matemática] S [/ matemática] es una real [matemática] B [/ matemática] ([matemática] b [/ matemática]) como cada valor de [matemática] ] S [/ math] es menor (mayor) o igual a [math] B [/ math] ([math] b [/ math]). Matemáticamente, [math] B \ in \ R [/ math] es un límite superior si [math] \ forall x \ in S, x \ leq B [/ math] y [math] b \ in \ R [/ math] es un límite inferior si [math] \ forall x \ en S, x \ geq b [/ math]. La diferencia aquí es que [matemáticas] B [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] no están obligados a estar en [matemáticas] S [/ matemáticas]; una vez más, no todos los conjuntos tienen un límite superior e inferior.
- Límite superior mínimo y límite inferior mayor: el límite superior mínimo (límite inferior mayor) de un conjunto [matemática] S [/ matemática] es el mínimo (máximo) de los límites superior (inferior) de [matemáticas] S [/ matemáticas]. Si [math] S [/ math] está enlazado, las propiedades de [math] \ R [/ math] nos dan que el límite más bajo y el límite más grande existen únicamente. Además, si el conjunto [matemática] S [/ matemática] tiene un máximo (mínimo), entonces es igual a este límite superior mínimo (límite inferior mayor).
El límite superior mínimo de [math] (0, 1) [/ math] es [math] 1 [/ math]. Sin embargo, [math] 1 [/ math] no es un elemento de [math] (0, 1) [/ math]. En consecuencia, [math] (0, 1) [/ math] no tiene un máximo y no tiene ningún “valor más alto”.
- Cómo probar la identidad matemática [matemáticas] 2 \ int \ limits_0 ^ {\ infty} dx ({1 \ over x} – {1 \ over {\ sqrt {x ^ 2 + 1}}}) {\ rm sinh} ^ {-1} x = {\ pi ^ 2 \ over 6} = \ zeta (2) [/ math]
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