Para aquellos que encuentran interesantes / emocionantes las ecuaciones diferenciales, ¿qué les parece interesante de ellas?

Answer 1

Mis esfuerzos matemáticos principales están bastante alejados de las ecuaciones diferenciales, pero las ecuaciones diferenciales son objetos matemáticos muy interesantes, de ahí que se formen disciplinas enteras en torno a su estudio.

Principalmente, me entusiasman tres aspectos de las ecuaciones diferenciales:

1. Aplicaciones
2. Interacciones con otras matemáticas.
3. Belleza inherente

El primero es el más fácil de ver. Las ecuaciones diferenciales están íntimamente ligadas al cambio, lo que las hace increíblemente útiles en las ciencias. Muchas de las ecuaciones más importantes en física son ecuaciones diferenciales, que van desde simples (valor real, ordinario, de primer orden, lineal, etc. ) hasta difíciles (valor complejo, parcial, de orden superior, no lineal, etc. ) . Las ecuaciones de campo de Einstein y la ecuación de Schrödinger son dos ejemplos. Las aplicaciones también van mucho más allá de la física. Las ecuaciones diferenciales se muestran en biología ( por ejemplo , la ecuación diferencial logística, el modelo de Hodgkin-Huxley), la economía ( por ejemplo, la infame ecuación de Black-Scholes) y en otros lugares.

Las ecuaciones diferenciales disfrutan de una interacción totalmente esperada con sus ecuaciones diferenciales discretas analógicas (cf cálculo de escala de tiempo), pero las conexiones no se detienen allí. Por ejemplo, podemos usar ideas algebro-geométricas para investigar sistemas de ecuaciones diferenciales; naturalmente, este campo se llama geometría algebraica diferencial. Tales conexiones son en realidad bastante comunes en las matemáticas, donde todo está relacionado con todo lo demás, pero nunca dejan de sorprender. Las ecuaciones diferenciales estocásticas proporcionan otra instancia de ecuaciones diferenciales que se cruzan con otro campo, a saber, la teoría de la probabilidad.

Otros campos, especialmente la geometría diferencial y el análisis, están intrínsecamente vinculados al estudio de ecuaciones diferenciales, razón por la cual, por ejemplo, uno necesita saber algo sobre la teoría de la medida antes de estudiar ecuaciones diferenciales parciales a nivel de posgrado.

Muchos, quizás la mayoría, cursos introductorios sobre ecuaciones diferenciales ordinarias no logran transmitir la belleza del tema [1]. Contrariamente a la creencia popular, hay más en este vasto y rico campo que aplicar varias rutinas para resolver ecuaciones. De hecho, resolver ecuaciones es solo una parte del estudio de ecuaciones diferenciales. Especialmente en los sistemas dinámicos, enfatizamos el comportamiento cualitativo de los sistemas. Este patrón de pensamiento conduce, entre otras cosas, a la famosa, aunque ampliamente incomprendida, teoría del caos.

Las ecuaciones diferenciales también son mucho más complicadas que la mayoría de los cursos introductorios. Los estudiantes a menudo piensan que el campo está muerto, tal como creen que el cálculo está de alguna manera terminado. Esto, por supuesto, no es cierto. No hay límite superior en la complejidad de las ecuaciones diferenciales. De hecho, muchas ecuaciones diferenciales son demasiado difíciles de manejar sin recurrir a métodos numéricos y similares, lo que las hace de considerable interés para ciertos matemáticos aplicados y científicos de la computación. Lo que no quiere decir que a veces no podamos manejar las dificultades por medios analíticos, siempre que estemos dispuestos a hacer un esfuerzo considerable; Algunos matemáticos han puesto ese esfuerzo en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales en varias variables complejas (o incluso múltiples) [2].

Notas al pie

[1] La respuesta de Joseph Heavner a ¿Qué tiene de malo la pedagogía de ecuaciones diferenciales?

[2] Ecuaciones diferenciales parciales en varias variables complejas: So-Chin Chen, Mei-Chi Shaw: 9780821829615: Amazon.com: Libros

Answer 2

El poder de las ecuaciones diferenciales. Estoy en una clase de PDE. El poder de las ecuaciones diferenciales es tan impresionante que hace que todo lo demás parezca aburrido. Todo lo que he estudiado hasta ahora es ridículo. Lo que puedes modelar y descubrir con ellos es tan alucinante. Este es un problema de tarea.

Considerar

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial t} = k \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} + q (x, t) [/ matemáticas]

sujeto a lo siguiente
[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial x} (0, t) = 0, \ frac {\ partial u} {\ partial x} (L, t) = 0, \ textrm {y} u ( x, 0) = f (x) [/ matemáticas]

Suponga que q (x, t) (para cada [matemática] t> 0 [/ matemática]) es una función suave por partes de x. También suponga que u y [math] \ frac {\ partial u} {\ partial x} [/ math] son ​​funciones continuas x (para [math] t> 0 [/ math]) y [math] \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} [/ math] y [math] \ frac {\ partial u} {\ partial t} [/ math] son ​​suaves por partes. Así,

[matemáticas] u (x, t) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} (t) \ sin (\ frac {n \ pi x} {L}) [/ matemáticas]

Trabajemos en esto.

¿Qué ecuación diferencial ordinaria hace [matemáticas] b_ {n} (t) [/ matemáticas]

Satisfacer. Usando la diferenciación término por término

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial x} \ sim \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n \ pi} {L} b_ {n} (t) \ cos (\ frac {n \ pi x} {L}) [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} \ sim – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ frac {n \ pi} {L}) ^ {2} b_ {n} (t) \ sin (\ frac {n \ pi x} {L}) [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial t} \ sim \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {d b_ {n}} {dt} \ sin (\ frac {n \ pi x} {L}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d b_ {n}} {dt} = -k (\ frac {n \ pi} {L}) ^ {2} b_ {n} (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {d b_ {n}} {dt} + k (\ frac {n \ pi} {L}) ^ {2} b_ {n} (t) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = q (x, t) \ implica \ frac {2} {L} \ int_ {0} ^ {L} f (x) \ sin (\ frac {n \ pi x} {L }) \ implica \ frac {2} {L} \ int_ {0} ^ {L} q (x, t) \ sin (\ frac {n \ pi x} {L}) = \ frac {d b_ {n }} {dt} + k (\ frac {n \ pi} {L}) ^ {2} b_ {n} (t) [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial t} – k \ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}} = q (x, t) [/ matemáticas]

Por cierto, la ecuación de calor con una fuente conocida q (x, t)

Answer 3

Debido a que prácticamente todo lo que está cambiando puede describirse en términos de una ecuación diferencial, y estas ecuaciones diferenciales generalmente sirven para resaltar ideas intuitivas de una manera matemáticamente precisa (a través del comportamiento cualitativo en el espacio de fase).

Answer 4

Realmente amo la conexión entre el mundo real y la ecuación. Me gusta que no sean fáciles de resolver y que las soluciones, si existen, a menudo tienen estructuras bastante interesantes y refrescantes. Me gusta la universalidad de algunas de las ecuaciones importantes, como

• Ecuación de hamburguesas
• Ecuación de Korteweg-de Vries
• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• NLSE

Bueno, y esa es la razón por la que realmente quiero investigar después de mis estudios en el campo de la dinámica no lineal 🙂

Saludos y que Dios los bendiga 🙂

Answer 5

Lo mismo por qué las integrales son interesantes:
¡Porque no se pueden resolver fácilmente!

Y las ecuaciones diferenciales son interesantes por otra razón:

Puede encontrar situaciones en las que la fórmula f (x) no es obvia y solo puede ver algunas cosas como “la pendiente parece aumentar con el valor de f (x)” o algo así.

Ser capaz de encontrar f (x) basado en estas simples observaciones es realmente interesante.

Y ninguna ecuación diferencial es como la otra, por lo que resolverlas siempre es un desafío.
Como integrales.

Si bien encontrar derivados normales es algo aburrido en comparación.
Como en el 99,99% de los casos, puede aplicar el mismo conjunto de reglas que de costumbre.
Solo algunos casos raros como f (x) = x ^ x siguen siendo bastante difíciles.