¿Cómo resolvería la ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} (\ sqrt {y})} {\ mathrm {d } x} [/ matemáticas]?

Answer 1

Como se indica [math] \ displaystyle \ sqrt {\ dfrac {dy} {dx}} = \ dfrac {d} {dx} (\ sqrt {y}) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sqrt {\ dfrac {dy} {dx}} = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {y}} \, \ dfrac {dy} {dx} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {1} {4y} \, (\ dfrac {dy} {dx}) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {1} {4y} \, (\ dfrac {dy} {dx}) ^ 2 – \ dfrac {dy} {dx} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {dy} {dx} (\ dfrac {1} {4y} \, \ dfrac {dy} {dx} – 1) = 0 [/ math]

[math] \ displaystyle \ implica [/ math] O bien [math] \ dfrac {dy} {dx} = 0 \, \, \, \, ——— (1) [/ math]

o [matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {4y} \, \ dfrac {dy} {dx} – 1 = 0 \, \, \, \, ——— (2) [/ matemáticas]

Primero resolvamos la ecuación [math] (1) [/ math],

Como, [matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {dy} {dx} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica dy = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ displaystyle \ implica y = C [/ matemática] (donde [matemática] C [/ matemática] es una constante arbitraria de integración) [matemática] \, \, \, \, ——— (3) [/ matemáticas]

Ahora resolvamos la ecuación [matemáticas] (2) [/ matemáticas], obtenemos,

Como, [matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {4y} \, \ dfrac {dy} {dx} – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {1} {4y} \, \ dfrac {dy} {dx} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ dfrac {1} {y} \, dy = 4 \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ int \ frac {1} {y} \, dy = \ int 4 \, dx [/ math]

[math] \ displaystyle \ implica \ ln (y) = 4x + C_1 [/ math] (donde [math] C_1 [/ math] es una constante arbitraria de integración)

[matemáticas] \ displaystyle \ implica y = e ^ {4x + C_1} [/ matemáticas]

Deje [math] \ displaystyle K = e ^ {C_1} [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle y = Ke ^ {4x} \, \, \, \, ——— (4) [/ matemáticas]

[matemáticas] (3) [/ matemáticas] y [matemáticas] (4) [/ matemáticas] son ​​las soluciones.

Answer 2

Por el teorema fundamental del cálculo,

[matemáticas] \ int \ frac {d} {dx} f (x) dx = f (x) + C [/ matemáticas]

Por alguna constante C.

Por lo tanto, tenemos

[matemáticas] y = \ int \ frac {dy} {dx} dx = \ int \ frac {d} {dx} \ sqrt {y} dx = \ sqrt {y} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ sqrt {y} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] C = y- \ sqrt {y} [/ matemáticas]

Y luego determine C evaluándolo en un punto conocido.