Tenemos que [matemáticas] \ frac {d} {dx} f (x) = f (x) * f (-x) [/ matemáticas]. Escribamos esto como [matemáticas] f ‘(x) = f (x) * f (-x) [/ matemáticas], y marque esto como nuestra ecuación [matemáticas] I [/ matemáticas].
De la ecuación [math] (I) [/ math], podemos demostrar que [math] f ‘(x) [/ math] es una función par: [math] f’ (- x) = f (-x) * f (- (- x)) = f (x) * f (-x) = f ‘(x) [/ math]; nuestra segunda ecuación es [matemáticas] f ‘(- x) = f’ (x) (II) [/ matemáticas].
Lo que esto significa es que [math] f (x) [/ math] debe ser una función que pueda describirse como la suma de una función impar y una constante. Una forma de entender por qué sucede esto es ver la expansión polinómica de [math] f (x) [/ math]; si escribimos [matemáticas] f (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ 2 +… [/ matemáticas] y tomamos la derivada, tenemos [matemáticas] f ‘(x) = a_ {1} + 2a_ {2} x + 3a_ {3} x ^ 2 +… [/ math] y como esa derivada es par, todos los términos de [math] f ‘(x) [/ math] con un impar el exponente debe tener un coeficiente de [matemáticas] 0 [/ matemáticas]; Esto significa que todos los coeficientes de las potencias pares de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] deben ser [matemáticas] 0 [/ matemáticas], excepto [matemáticas] a_ {0} [/ matemáticas], y el resto son los coeficientes restantes de una función impar, ya que [matemática] (- x) [/ matemática] llevada a una potencia impar es igual a [matemática] (- 1) [/ matemática] veces [matemática] x [/ matemática] llevada a esa El mismo poder extraño.
Por lo tanto, escriba [math] f (x) = g (x) + k [/ math], de modo que [math] g (-x) = -g (x) [/ math] y [math] k [/ math ] es una constante real.
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[matemáticas] f ‘(x) = g’ (x) [/ matemáticas], y así [matemáticas] g ‘(x) = f (x) * f (-x) = (g (x) + k) ( -g (x) + k) = – (g (x)) ^ 2 + k ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora tenemos otra ecuación para resolver, pero en una forma mucho más amigable: [matemáticas] g ‘= -g ^ 2 + k ^ 2 [/ matemáticas]
Para resolver esto, podemos hacer lo siguiente:
Primero, esperemos que nuestro caso sea que [matemática] k [/ matemática] es igual a [matemática] 0 [/ matemática], ya que esto reducirá en gran medida la cantidad de trabajo necesario. Si [math] k = 0 [/ math], en realidad tenemos que [math] f ‘(x) = – (f (x)) ^ 2 [/ math], y podemos resolver esto directamente.
[matemáticas] \ frac {df} {dx} = -f ^ 2 [/ matemáticas]; [matemática] \ frac {-1} {f ^ 2} df = dx [/ matemática] y así [matemática] \ frac {1} {f (x)} = x + c [/ matemática], [matemática] c [/ math] es nuestra constante de integración y entonces [math] f (x) = \ frac {1} {x + c} [/ math], entonces si hay una solución de esta forma, esto significa nuestra elección de [math ] k [/ math] podría funcionar. Ahora, dado que [matemática] f (x) = g (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) [/ matemática] es impar, entonces debe ser [matemática] f (x) [/ matemática], que restringirá nuestro dominio de solución:
[matemáticas] f (x) = -f (-x) \ to \ frac {1} {x + c} = \ frac {-1} {- x + c} \ to -x + c = -x – c \ a 2c = 0 \ a c = 0 [/ matemáticas]
Entonces [math] f (x) = \ frac {1} {x} [/ math] es nuestra solución para este escenario, y además es la única función que satisface esta condición – si [math] k = 0 [/ math ]
Si [math] k \ neq 0 [/ math], podemos encontrarnos con algunos problemas, pero puedo ampliarlos más adelante.