¿Cómo la solución homogénea en una ecuación diferencial lineal proporciona el vector de dirección a la línea que contiene las soluciones infinitas?

Answer 1

respuesta rápida y sucia:

-Las ecuaciones homogéneas tienen la forma [matemática] f (x) = 0 [/ matemática]. Si el espacio nulo de [math] f [/ math] no se reduce a la solución trivial, podemos considerar [math] x_0 [/ math], uno de los elementos (no trivial) en el espacio nulo de f.

-¿Qué pasa si multiplico [matemáticas] x_0 [/ matemáticas] por una constante k? El vector [matemática] kx_0 [/ matemática] sigue siendo la solución a la ecuación si f es una operación lineal, es decir, [matemática] f (kx_0) = kf (x_0) = 0 [/ matemática]. En resumen, hay una familia de soluciones que son todos vectores colineales a [matemática] x_0 [/ matemática], por lo tanto, una infinita solución en la misma dirección que [matemática] x_0 [/ matemática].

Para convencerse más, intente averiguar qué es exactamente [matemática] f [/ matemática] en su caso y verifique que realmente tengamos [matemática] f (kx_0) = kf (x_0). [/ Matemática]

Answer 2

Dé un ejemplo del tipo de ecuación sobre la que está preguntando. ¿Es una ecuación con coeficientes constantes o una ecuación lineal general? ¿Es una ecuación diferencial ordinaria o parcial? ¿Y qué quieres decir con soluciones infinitas? ¿Soluciones que tienden al infinito a medida que las variables dependientes t van al infinito? ¿Y por qué se acostarían en una línea? En general, esto no es cierto, por lo que debe ser que su pregunta sea sobre un tipo especial de ecuación. Por favor especifica.