Y = x ^ 2 yx = (y) ^ 0.5 Esto significa que ambas ecuaciones tienen la misma curva. ¿Cómo puedo probar esto matemáticamente?

Answer 1

Prueba 1 (Resolver para una variable)

Tenemos [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = y ^ {0.5} [/ matemáticas].

Podemos resolver [math] y [/ math] usando la segunda ecuación:

[matemáticas] x = y ^ {0.5} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ sqrt {y} \ leftarrow [/ matemáticas] Si el exponente es una fracción, el denominador es el grado raíz y el numerador es el exponente. [matemáticas] 0.5 = \ frac {1} {2} [/ matemáticas], entonces raíz cuadrada.

[matemáticas] x ^ 2 = y \ leftarrow [/ matemáticas] Cuadrar ambos lados

[matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]

QED

También puedes resolver [matemáticas] x [/ matemáticas] usando la primera ecuación.

[matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {y} = x \ leftarrow [/ matemáticas] Saca la raíz cuadrada de ambos lados

[matemáticas] y ^ {0.5} = x \ leftarrow [/ matemáticas] De nuevo, esto es equivalente.

[matemáticas] x = y ^ {0.5} [/ matemáticas]

QED

Prueba 2 (sustitución)

Podemos sustituir [matemáticas] x = y ^ {0.5} [/ matemáticas] en [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] y = (y ^ {0.5}) ^ 2 \ leftarrow [/ matemáticas] Sustituir.

[matemáticas] y = y ^ {0.5 \ cdot 2} \ leftarrow [/ matemáticas] [matemáticas] (x ^ a) ^ b = x ^ {ab} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = y ^ 1 \ leftarrow [/ matemáticas] Simplificar

[matemáticas] y = y [/ matemáticas]

QED

Prueba 3 (Gráficamente)

Si representa gráficamente [matemática] x = y ^ {0.5} [/ matemática] y [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática], obtiene esta gráfica:

y = x ^ 2 es equivalente a x = y ^ 0.5

Si se está preguntando, la carpeta agrupa la raíz cuadrada principal y la raíz cuadrada negativa en una. Esto representa la raíz cuadrada de [math] y [/ math].

QED

Prueba 4 (intuición)

La función de raíz cuadrada es la inversa de la función cuadrada. Además, [math] 0.5 [/ math] es el recíproco de [math] 2 [/ math]. Por lo tanto, es cierto que uno es igual al otro; solo está reorganizando la ecuación.

QED

Answer 2

Gracias por el A2A!

Bueno, no es del todo cierto, porque [matemáticas] x [/ matemáticas] solo puede ser positivo. [matemáticas] x = \ pm \ sqrt {y} = \ pm y ^ {0.5} [/ matemáticas] sería más correcto. Cuadrando ambos lados de esto:

[matemáticas] x ^ 2 = (\ pm y ^ {0.5}) ^ 2 = (\ pm 1) ^ 2y = y \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Entonces implican la misma curva.

Answer 3

Me temo que esto no es del todo cierto.

Cuando vemos la ecuación [matemáticas] x = y ^ {0.5} [/ matemáticas], debemos aclarar si la potencia media especifica una raíz cuadrada principal (no negativa) o una raíz cuadrada general (ambas soluciones a la ecuación cuadrática formada por cuadrando ambos lados).

Si lo definimos como principal (que es, de hecho, la convención), entonces sabemos que [math] y ^ {0.5} [/ math] no generará ningún valor negativo y, por lo tanto, [math] x [/ math] puede solo sea positivo o cero. Esto configura un problema de dominio para [math] x [/ math] cuando cuadramos ambos lados para intentar probar que [math] x = y ^ {0.5} \ implica x ^ 2 = y [/ math]:

[matemáticas] x = y ^ {0.5} \ implica (x) ^ 2 = (y ^ {0.5}) ^ 2 \ implica x ^ 2 = y ^ {0.5 \ cdot 2} [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] y = x ^ 2, \ texto {D:} [0, \ infty) [/ matemáticas]

Compare esto con la otra curva:

[matemáticas] y = x ^ 2, \ texto {D:} (- \ infty, \ infty) [/ matemáticas]

Por lo tanto, las curvas no son idénticas; uno solo se define para valores no negativos [matemáticos] x [/ matemáticos] mientras que el otro se define para todos. Aquí hay una comparación gráfica:

Answer 4

y ^ .5 es igual a y ^ (1/2).

Y n ^ (1 / m) es igual a la enésima raíz de n. Entonces y ^ (1/2) = sqrt (y)

y = x ^ 2 | Calcular raíz cuadrada

sqrt (y) = x

Answer 5

Bueno [matemáticas] (a ^ b) ^ c = a ^ {b \ veces c} [/ matemáticas]

Prueba aquí: http://andrusia.com/math/prelimi …

(desafortunadamente no pude encontrar una prueba que no se base en [math] b [/ math] y [math] c [/ math] como números naturales, pero ¿por qué sería incorrecto para otros números reales?)

Por lo tanto, [matemáticas] y = x ^ 2 \ iff \ sqrt {y} = x [/ matemáticas]

Ahora, por supuesto, solo dibuja la mitad de la función [math] \ sqrt {y} = x [/ math] pero para esta mitad es la misma expresión.

Answer 6

Las curvas y = x ^ 2 y x = y ^ 0.5 sin ninguna información adicional significan que habla de los pares (x, y) que satisfacen cada ecuación, y pregunta si los dos conjuntos son iguales.

La respuesta es “no”, porque, por ejemplo, el par (-2,4) satisface la primera ecuación mientras que no satisface la segunda ecuación.

Answer 7

Algrebraicamente! Simplemente cuadre la segunda ecuación, (x) ^ 2 = (y ^ (0.5)) ^ 2 se simplifica a x ^ 2 = y, puede ver claramente que esta es la misma ecuación que la primera, es decir, simplificamos la segunda ecuación, y esa versión simplificada resultó ser exactamente la primera ecuación.

Answer 8

Inserta tu segunda ecuación en la primera, y obtienes

[matemáticas] y = (y ^ {0.5}) ^ 2 [/ matemáticas]