¿En qué casos utilizamos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales?

Un matemático respondería esta pregunta con la siguiente lista priorizada de formato de soluciones de ecuaciones diferenciales:

  1. Solución exacta de forma cerrada (muy inusual, excepto por problemas de tarea)
  2. Soluciones a través de Laplace, Fourier u otra transformación similar
  3. Soluciones a través de potencia, Frobenius, trigonométricas u otras series
  4. Diagramas dinámicos que dibujan trayectorias de soluciones basadas en linealización cerca de equilibrios
  5. Soluciones numéricas

Un ingeniero podría responderlo un poco más simple:

  1. Soluciones numéricas

A menos que esté buscando belleza o profundidad de comprensión, no necesita una respuesta bonita y estructurada. Si desea resolver una ecuación diferencial porque los valores de sus soluciones son prácticamente útiles, es mejor obtenerlos mediante un método numérico rápido, fácilmente automatizado que mediante un método simbólico muy complicado.

¿En qué casos utilizamos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales?

Casi siempre. No muchas ecuaciones diferenciales tienen soluciones de forma cerrada. Cuando lo hacen, es una sorpresa agradable (aunque encontrar esa solución a menudo es un trabajo duro).

Es más fácil preguntar qué casos no necesitamos métodos numéricos (incluidas las expansiones de series). Primero, ecuaciones lineales con coeficientes constantes, luego ecuaciones separables. Luego, algunos casos más especiales.

En cualquier momento que podamos. La mayoría de las ecuaciones diferenciales no tienen soluciones de forma cerrada, como ya mencionó Terry. Incluso para aquellos que tienen, una solución de forma cerrada puede ser más complicada que un método numérico.

Casi siempre que tienes que resolver una ecuación no lineal. Hay algunos casos raros en los que se conoce el resultado, pero la mayoría de las veces, ni siquiera sabemos si la solución existe (o, cuando lo hacemos, entonces no tenemos idea de cuál es la solución, lo que justifica el uso de la solución numérica). acercarse a, aproximarse)

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