Cómo demostrar que todas las soluciones a [matemáticas] y ” + y = 0 [/ matemáticas], excluyendo [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas], tienen el mismo período

Answer 1

Tomemos un sistema general, es decir, [math] y ^ {\ prime \ prime} + y ^ n = 0 [/ math], donde [math] n \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ math]. Este sistema es autónomo. Para los valores [math] \ textbf {even} [/ math] de [math] n [/ math], este sistema no posee una órbita cercana sobre [math] (y, y ^ {\ prime}) = (0, 0) [/ math] en el espacio de estados, es decir, [math] (y, y ^ {\ prime}) [/ math] space. Y para los valores [math] \ textbf {odd} [/ math] de [math] n [/ math], este sistema posee una familia de órbitas cercanas sobre [math] (y, y ^ {\ prime}) = ( 0,0) [/ math] en el espacio de estados. Por lo tanto, el concepto de período solo se aplica a los valores [math] \ textbf {odd} [/ math] de [math] n [/ math]. También para valores impares de [matemática] n [/ matemática], este sistema posee una simetría sobre [matemática] y = 0 [/ matemática].

[matemáticas] y ^ {\ prime \ prime} + y ^ n = 0 [/ matemáticas]

[math] \ implica y ^ {\ prime} (y ^ {\ prime \ prime} + y ^ n) = 0, [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {d} {dt} \ left (\ dfrac {1} {2} {y ^ {\ prime}} ^ 2+ \ dfrac {1} {1 + n} y ^ {n + 1} \ right) = 0, \ hspace {2mm} \ left (\ text {Let} \ hspace {2mm} y ^ {\ prime} = \ dfrac {dy} {dt} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {2} {y ^ {\ prime}} ^ 2+ \ dfrac {1} {1 + n} y ^ {n + 1} = E_ {t},… (1 )[/matemáticas]

donde [math] E_t [/ math] es constante de integración. Para este sistema, esta constante no es más que la energía total [matemática] (KE + PE) [/ matemática] del sistema. De la ecuación [matemática] (1) [/ matemática], está claro que para cada trayectoria en el espacio de estado esta energía [matemática] (E_t) [/ matemática] es constante. En [math] y ^ {\ prime} = 0 [/ math], cada trayectoria tendrá su desplazamiento máximo (o mínimo) desde [math] y = 0 [/ math]. Como [math] n [/ math] es impar, los valores absolutos de estos desplazamientos máximos y mínimos son iguales (argumento de simetría). Este desplazamiento máximo es la amplitud de esa solución periódica. Supongamos que la amplitud es [matemática] A [/ matemática]. Entonces [matemáticas] E_t = \ dfrac {1} {1 + n} A ^ {n + 1} [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} {y ^ {\ prime}} ^ 2+ \ dfrac {1} {1 + n} y ^ {n + 1} = \ dfrac {1} {1 + n} A ^ {n + 1}, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica dt = \ dfrac {dy} {\ sqrt {\ dfrac {2} {1 + n} A ^ {n + 1} – \ dfrac {2} {1 + n} y ^ {n + 1 }}}, … (*)[/matemáticas]

[matemáticas] \ implica dt = \ dfrac {\ left (A ^ {- \ left (\ frac {n + 1} {2} \ right)} \ sqrt {\ frac {n + 1} {2}} \ right ) dy} {\ sqrt {1- \ left (\ dfrac {y} {A} \ right) ^ {n + 1}}}, [/ math]

[matemáticas] \ implica \ int_0 ^ {0.5T} dt = \ left (A ^ {- \ left (\ frac {n + 1} {2} \ right)} \ sqrt {\ frac {n + 1} {2 }} \ right) \ int_ {y_ {min}} ^ {y_ {max}} \ dfrac {dy} {\ sqrt {1- \ left (\ dfrac {y} {A} \ right) ^ {n + 1 }}}, [/matemáticas]

[matemáticas] \ implica T = \ left (A ^ {- \ left (\ frac {n + 1} {2} \ right)} \ sqrt {2 (n + 1)} \ right) \ int _ {- A} ^ {A} \ dfrac {dy} {\ sqrt {1- \ left (\ dfrac {y} {A} \ right) ^ {n + 1}}}, [/ math]

donde [math] T [/ math] es el período de tiempo para cada solución periódica. Como no hay término [math] y ^ {\ prime} [/ math] en [math] y ^ {\ prime \ prime} + y ^ n = 0 [/ math], el sistema también tiene simetría sobre [math] y ^ {\ prime} = 0 [/ matemáticas]. Es por eso que cada trayectoria toma la misma cantidad de tiempo [matemática] (0.5T) [/ matemática] para [matemática] (- A [/ matemática] a [matemática] A) [/ matemática] y [matemática] (A [/ matemática] a [matemática] -A) [/ matemática], respectivamente. En [ecuación matemática] (*) [/ matemática], el argumento de simetría sobre [matemática] y ^ {\ prime} = 0 [/ matemática] está presente, ya que solo el valor positivo de [matemática] y ^ {\ prime } [/ math] se elige allí. Deje, [matemáticas] y = uA [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] T = \ left (A ^ {\ left (\ frac {1-n} {2} \ right)} \ sqrt {2 (n + 1)} \ right) \ int _ {- 1} ^ {1 } \ dfrac {du} {\ sqrt {1-u ^ {n + 1}}}, [/ math]

[matemáticas] \ implica T = \ left (2 \, A ^ {\ left (\ frac {1-n} {2} \ right)} \ sqrt {2 (n + 1)} \ right) \ int_ {0 } ^ {1} \ dfrac {du} {\ sqrt {1-u ^ {n + 1}}}, \ hspace {2mm} \ text {como $ (n + 1) $ es par} … (2) [ /matemáticas]

[math] \ implica T = (\ text {algún número positivo independiente de A}) \ times A ^ {\ left (\ frac {1-n} {2} \ right)}. [/ math]

Por lo tanto, el período de tiempo [matemática] (T) [/ matemática] es independiente de [matemática] A [/ matemática] solo cuando [matemática] n = 1 [/ matemática]. Al poner [math] n = 1 [/ math] en [math] Eq. (2) [/ math], obtenemos [math] T = 2 \ pi [/ math]. Para otros valores impares de [math] n [/ math], el período de tiempo depende del valor de [math] A [/ math], es decir, una trayectoria particular.

Answer 2

Matemáticamente, esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

Por lo tanto, se puede mostrar fácilmente que la solución general es

[matemática] y = A sin (x) + B cos (x) = C sin (x + \ phi) [/ matemática]

donde, [matemáticas] C = \ sqrt {(A ^ 2 + B ^ 2)} [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] y [matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] \ phi = tan ^ {- 1 } \ frac {B} {A} [/ matemáticas]

Entonces, ya ves, la solución tiene un período de [matemáticas] 2 \ pi. [/ Matemáticas]

Fuente:

Físicamente, este tipo de ecuación representa la oscilación (alrededor del punto de equilibrio) de una unidad de masa cuando se conecta a un resorte de rigidez unitaria. Ahora, (para el caso lineal) y sin amortiguamiento, la energía se conserva y las oscilaciones son periódicas (oscilador armónico simple). Por lo tanto, las soluciones son periódicas.

EDITAR: una forma muy interesante de ver la solución de esta ecuación es considerar la masa que gira en una órbita circular sobre un punto. Esta ecuación representa el lugar geométrico de la coordenada y o x del punto. Algo como esto es lo que tengo en mente.

Fuente diapositiva 7

Answer 3

Entonces la ecuación diferencial dada es

[matemáticas] y ” + y = 0 [/ matemáticas]

Ahora multiplicando por [math] y ‘[/ math] a lo largo, tenemos

[matemáticas] (y ”) (y ‘) + (y’) (y) = 0 [/ matemáticas]

Ahora integre toda la ecuación

[matemática] \ por lo tanto \ displaystyle \ int (y ”) (y ‘) + \ displaystyle \ int (y’) (y) = 0 [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ dfrac {(y ‘) ^ 2} {2} + \ dfrac {(y) ^ 2} {2} = c [/ matemáticas]

Donde [math] c [/ math] es la constante de integración

[matemáticas] \ por lo tanto y ‘= \ pm [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {2c-y ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ pm \ dfrac {(y ‘)} {\ sqrt {2c-y ^ 2}} = 1 [/ matemáticas]

Ahora integrando toda la ecuación (sustituyendo [math] y = t [/ math] y [math] y ‘= \ dt [/ math]), nuevamente tenemos

[matemáticas] \ sin ^ {- 1} \ izquierda (\ dfrac {y} {\ sqrt {2c}} \ derecha) = x + k_ {1} [/ matemáticas]

Y

[matemática] \ cos ^ {- 1} \ izquierda (\ dfrac {y} {\ sqrt {2c}} \ derecha) [/ matemática] [matemática] = x + k_ {2} [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] las dos soluciones son

1. [matemáticas] y = \ sqrt {2c} \ sin (x + k_ {1}) [/ matemáticas]
2. [matemáticas] y = \ sqrt {2c} \ cos (x + k_ {2}) [/ matemáticas]

Por lo tanto, ambas soluciones / funciones tienen punto [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]

Espero que sea lo que querías.

Answer 4

La solución general debe ser una combinación lineal de cosx + isinx y cosx-isinx, donde i es la unidad imaginaria. Por lo tanto, tiene un período de 2pi (no tengo el signo en mi teclado)

Answer 5

La solución es [matemáticas] e ^ {ix} + e ^ {- ix} [/ matemáticas] Puede verificar que la segunda derivada con respecto a x es menos veces la función.