Escritura. Te digo que las cosas se vuelven 1000 veces más fáciles cuando puedes leer tu propia letra y puedes identificar todas las variables en la ecuación. Entonces, escribe de manera que tu propio trabajo sea legible para ti. No puedo enfatizar lo importante que es esto.
Álgebra. Tengo que enfatizar que muchos problemas sobre ecuaciones diferenciales no se presentan de forma fácil. Es decir, no siempre están en una forma en la que solo se pueden separar las variables e integrarlas. A veces, vienen en forma en la que tienes que hacer un poco de trabajo preliminar antes de poder llegar a la separación real de las variables. Dejame darte un ejemplo:
La ecuación anterior se resuelve principalmente mediante la separación de variables. Sin embargo, hay un poco de trabajo preliminar que debe hacerse para convertir esto en una ecuación separable. Tal como está, todavía no es realmente uno. Tienes que hacer este negocio de sustitución para llegar a una ecuación separable. Luego hay ejemplos aún más complicados de tales ecuaciones. Nuevamente, sugeriría que se asegure de que el álgebra preliminar se realice correctamente y que lo lleve a la solución correcta.
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A veces, ni siquiera es mucho álgebra. Es la falta de conocimiento lo que causa problemas a las personas. Por ejemplo, en Física, la ecuación de un oscilador armónico se da de la siguiente manera;
La mayoría de las personas tienen la impresión de que esto no se puede resolver mediante la separación de variables. Sin embargo, se puede hacer usando ese método, solo tienes que ser un poco creativo al construir una ecuación de primer orden a partir de una ecuación diferencial de segundo orden. Una vez más, este tipo de intuición proviene de resolver problemas más difíciles a medida que avanza en su aprendizaje. Resolver el mismo conjunto de problemas fáciles no te hará mucho bien, honestamente.
Integración. Cuando finalmente pueda separar las variables, tendrá que hacer la integración y debo decir que esta es la parte más difícil de todo. El álgebra es más fácil de hacer esa integración. Este es el lugar donde necesita tener algunas integrales básicas a su alcance y no tener dificultades para integrar funciones básicas. También necesita saber cómo usar sustituciones y algunos otros métodos básicos de integración. Para ser experto en hacer Integración, no puedo enfatizar la importancia de hacer problemas difíciles. Solo entonces entrenará su intuición para ser lo suficientemente bueno como para saber de inmediato cuándo la integración por partes no funcionará, a diferencia de la integración por sustitución.
Estas son las pautas generales para resolver cualquier ecuación diferencial separable de primer orden. Por supuesto, debo ser honesto y decirte que no todas las ecuaciones diferenciales pueden resolverse analíticamente. Es decir, hay algunas integrales que no se pueden expresar en términos de funciones elementales. En esos casos, es posible que tenga que hacer una lectura adicional para conocer la forma general de ciertas funciones especiales, que luego se pueden usar como la forma de representar esas integrales insolubles.
Asegúrate de seguir tu intuición, sobre todo, y entrenarla para que puedas confiar en ella. Resolver ecuaciones diferenciales no es, y no debería ser, un proceso mecánico.