¿Qué es la diferenciación en matemáticas y por qué nos diferenciamos?

Answer 1

Informalmente, la diferenciación es el proceso de encontrar derivada de una función y la derivada es la “mejor aproximación lineal” a una función.

Para empezar, los mapas lineales y las estructuras lineales son fáciles de analizar y esto es lo que hacemos en Álgebra lineal. Por ejemplo, considere un mapa lineal [math] T: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] que es T satisface

[matemática] T (x + y) = T (x) + T (y) [/ matemática] y [matemática] T (ax) = aT (x) [/ matemática] para cualquier x, y, a en [matemática ] \ mathbb {R} [/ math].

Ahora, como consecuencia de un resultado importante en el álgebra lineal, el teorema de Representación de Riesz dice que cualquier mapa tiene la estructura de un mapa de multiplicación, es decir, para cualquier T, existe un número real [matemático] \ alfa tal [/ matemático] que [matemáticas] T (x) = \ alpha x [/ matemáticas]. Para todas las x en [math] \ mathbb {R} [/ math]. Tan simple es la estructura de los mapas lineales en [math] \ mathbb {R} [/ math].

Sin embargo, en el cálculo tratamos con cualquier función [math] f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math]. Que podría ser no lineal. El concepto de derivado viene a rescatar aquí. En una vecindad pequeña de cualquier punto en el dominio de f, la derivada es la mejor aproximación lineal de f y puede considerarse igual a f dentro de la vecindad. Cualquiera sea la estructura de la derivada, la misma es la de f localmente dentro del vecindario.

Esta idea es bastante poderosa. Por ejemplo, podemos decir cuando un mapa lineal o una matriz es invertible verificando si su determinante es distinto de cero o no. Ahora, si está en una vecindad de f, si la derivada no es cero, es invertible y, por lo tanto, la función f también es invertible en esa vecindad. Esto tenemos un inverso local para f. Esta es la idea detrás del elegante teorema de análisis de la función inversa.

PD:

1. Teorema de representación de Riesz – Wikipedia
2. Teorema de la función inversa – Wikipedia

Answer 2

La diferenciación es parte de un área de las matemáticas conocida como cálculo diferencial . La idea esencial detrás de esta área de las matemáticas es ver cómo un pequeño cambio en una variable cambiará una variable relacionada. Entonces por ejemplo si

[matemáticas] y = f (x) \ etiqueta 1 [/ matemáticas]

entonces, si agregamos una pequeña cantidad a [matemáticas] x [/ matemáticas] ¿qué pasará con [matemáticas] y [/ matemáticas]? Esta pregunta y las relacionadas con las tasas de cambio se manejan mediante cálculo diferencial.

La tasa de cambio de una variable [matemática] y [/ matemática] con respecto a otra variable [matemática] x [/ matemática] se llama derivada y se define por

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = f ‘(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \ tag 2 [/ matemáticas ]

Esto significa que cualquier área de estudio que contenga tasas finalmente necesitará cálculo para progresar. Si tenemos una relación entre el desplazamiento ([matemática] s [/ matemática]) y el tiempo ([matemática] t [/ matemática]), entonces la velocidad [matemática] v [/ matemática] es [matemática] v = \ frac {ds} {dt} [/ math] y aceleración [math] a = \ frac {dv} {dt} [/ math].