Pongamos un ejemplo.
Imagina una isla desierta donde se apodera un virus mortal.
Todos los días, una décima parte de la población muere.
Podríamos decir que:
- ¿Qué es exactamente la diferenciación?
- Cómo resolver la siguiente ecuación diferencial: [math] (1 + x ^ {2}) \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ dfrac {4x ^ {3} y} {(1-x ^ { 2})} [/ matemáticas]
- ¿Puedo obtener algunas pautas generales al resolver problemas variables separables en ecuaciones diferenciales?
- ¿Cómo resolvería la ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {d} (\ sqrt {y})} {\ mathrm {d } x} [/ matemáticas]?
- Como ingeniero biomédico, ¿cuánto usa ecuaciones diferenciales parciales?
Número de fallecidos por día = 0.1 x población
Ahora escribamos esto usando símbolos matemáticos:
– dN / dt = 0.1 x N
dónde:
dN / dt = Número de muertes por día
El signo negativo nos dice que las personas que mueren disminuyen la población (es un cambio negativo)
N = Población
¿QUÉ LE PASARÁ A LA POBLACIÓN, N?
La población, N, obviamente disminuirá todos los días.
Esto significa que la cantidad de personas que mueren cada día también disminuirá.
Por ejemplo:
El día cero la población es de 10 000 y luego llega el virus.
El primer día, la población comienza a las 10 0000, por lo que 1000 mueren.
El segundo día, la población comienza en 9000, por lo que 900 mueren.
El tercer día, la población comienza en 8100, por lo que 810 mueren.
y así.
¿PUEDO RESULTAR CUÁNTAS PERSONAS VIVIRÁN DESPUÉS DE 12 DÍAS?
Bueno, podrías resolverlo como lo he hecho anteriormente durante tres días, pero continúa hasta el día 12.
Pero eso sería un poco tedioso.
Entonces, una forma más rápida es mirar nuestra ecuación nuevamente.
Aquí está:
– dN / dt = 0.1 x N
Este tipo de ecuación se llama ecuación diferencial.
Lo bueno de las ecuaciones diferenciales es que podemos escribirlas de una manera diferente.
Entonces podemos escribir cualquier ecuación diferencial de una manera que se vea totalmente diferente.
Cuando hacemos esto decimos que vamos a ” resolver la ecuación diferencial ” .
Si resolvemos: – dN / dt = 0.1 x N
Obtenemos:
N = nxe ^ -0.1xt
n = la población para comenzar (en el día cero)
e = 2.71 (este es un número importante en matemáticas y física llamado constante exponencial)
t = la cantidad de días que me interesan
N = la población después de t días.
Entonces, después de 12 días:
N = nxe ^ -0.1xt
N = 10 000 xe ^ -0,1 × 12
N = 10 000 xe ^ -1,2
Si usa su calculadora científica para calcular e ^ -1.2 obtendrá 0.30
Entonces: N = 10 000 x 0,30
N = 3000
Después de 12 días la población será de 3000.
¿CÓMO SOLUCIONO ECUACIONES DIFERENCIALES?
Si estudias cálculo, esta es una de las cosas que aprenderás a hacer.
¿POR QUÉ SON IMPORTANTES LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?
Todo tipo de cosas en el mundo que nos rodea puede describirse mediante ecuaciones diferenciales.
Por lo tanto, son realmente importantes en física.
Y al saber cómo resolverlos, podemos resolver las cosas mucho más rápido que tener que seguir muchos pasos.
AQUÍ HAY ALGUNOS OTROS EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1. El cambio de altura por día de agua en un tanque en particular que tiene un agujero en su base.
– dH / dt = 0.2 H
dH / dt = cambio en la altura del agua por día
H = altura del agua en el tanque
Verá que la fuga de agua significa que la altura del agua en el tanque cae en una quinta parte de su nueva altura todos los días.
Observe el signo negativo nuevamente porque la altura está disminuyendo.
La solución de esta ecuación diferencial es:
H = hxe ^ -0.2 xt
Entonces podemos calcular la altura, H, del agua t días después de que el tanque estaba lleno a una altura, h.
El 0.2 será un número diferente para un tanque diferente, ya que depende del tamaño del agujero.
2. La cantidad de carga, Q, que fluye cada segundo desde un condensador (un dispositivo que almacena carga).
– dQ / dt = 0.04 x Q
dQ / dt = carga que fluye del condensador cada segundo.
Q = carga almacenada en el condensador.
En este ejemplo, el condensador pierde el 4% de su carga restante cada segundo.
La solución de esta ecuación diferencial es:
Q = qx [matemáticas] [/mathfont>e^-0.04 xt
Entonces podemos calcular la carga, Q, aún almacenada en el capacitor t segundos después de que el capacitor tenga una carga completa, q.
El 0.04 dependerá del tipo de condensador y la resistencia eléctrica del circuito.
3. El número de átomos radiactivos que emiten radiación cada segundo.
– dN / dt = 0.0005 N
dN / dt = el número de átomos que emiten radiación cada segundo
N = número de átomos radiactivos que aún no han emitido radiación
Entonces vemos que el 0.05% de los átomos que aún no han emitido radiación emitirán radiación cada segundo.
PREGUNTA
Es posible que desee probar esta pregunta:
(a) Escriba lo que cree que es la solución de esta ecuación diferencial
(b) Si una muestra de este material radiactivo contiene un millón de átomos que no han emitido radiación, ¿cuántos átomos habrá que aún no hayan emitido después de 60 segundos?
[Debería obtener una respuesta de aproximadamente 970 446 átomos]
HAY MUCHOS TIPOS DE ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE USTED VENDRÁ A TRAVÉS DEL CÁLCULO.
Isaac Newton inventó el cálculo para ayudarlo a explicar sus teorías.
Todavía es tan útil hoy como lo fue hace más de trescientos años.