Cómo resolver la siguiente ecuación diferencial: [math] (1 + x ^ {2}) \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ dfrac {4x ^ {3} y} {(1-x ^ { 2})} [/ matemáticas]

Answer 1

[matemáticas] (1 + x ^ 2) \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {4x ^ 3y} {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {4x ^ 3} {(1 + x ^ 2) (1-x ^ 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {4x ^ 3} {1-x ^ 4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {dy} {y} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {4x ^ 3} {1-x ^ 4} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int \ dfrac {dy} {y} = \ displaystyle \ int \ dfrac {4x ^ 3} {1-x ^ 4} dx [/ math]

La integral en lhs es [matemática] \ ln [/ matemática] | [matemática] y [/ matemática] |

Para la integral en la rhs, sea [math] u = 1-x ^ 4 [/ math] de donde [math] du = -4x ^ 3dx [/ math]

Esto significa que

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {4x ^ 3} {1-x ^ 4} dx [/ matemáticas]

[math] = \ displaystyle – \ int \ dfrac {-4x ^ 3} {1-x ^ 4} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle – \ int \ dfrac {du} {u} [/ matemáticas]

Entonces tiene [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {dy} {y} = \ displaystyle – \ int \ dfrac {du} {u} [/ math]

[matemáticas] \ implica ln | y | = -ln | u | + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ln | y | = ln (| u | ^ {- 1}) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica e ^ {ln | y |} = e ^ {ln (\ frac {1} {| u |} + C)} [/ matemáticas]

[matemática] \ implica | y | = [/ matemática] [matemática] e ^ {ln (\ frac {1} {| u |})} × e ^ C [/ matemática]

[matemáticas] | y | = \ dfrac {1} {| u |} × e ^ C [/ matemáticas]

Porque [matemáticas] e ^ C [/ matemáticas] es una constante

let [matemáticas] e ^ C = K [/ matemáticas].

Reemplace [math] u [/ math] con [math] 1-x ^ 4 [/ math] y obtenga

[matemáticas] y = \ pm K (\ dfrac {1} {1-x ^ 4}) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y (1-x ^ 4) = \ pm K [/ matemáticas]

Answer 2

Esa pregunta ya ha sido formulada por otra persona y la solución es

y = k / [1-x ^ 4], tenga en cuenta que el numerador es una constante y no una función de x.

Trabajemos al revés

dy / dx = (0 – k [- 4x ^ 3]) / [1-x ^ 4] ^ 2

dy / dx = (4x ^ 3 / [1-x ^ 4]) (k / [1-x ^ 4])

dy / dx = (4x ^ 3 / [1-x ^ 4]) (y)

(1 + x ^ 2) [dy / dx] = 4x ^ 3 .y / [1-x ^ 2], entonces alguien le dijo la solución incorrecta y perdió su tiempo.