Deje [math] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {(1 + x) ^ {n + 1}} {x} \, dx [/ math]
Hay muchos métodos para resolver [matemáticas] I [/ matemáticas], intentemos dos de ellos aquí, aparte del método Sr. Subrato Roy.
Primer método:
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {(1 + x) ^ {n + 1}} {x} \, dx [/ matemáticas]
- En geometría, ¿cómo reflejo un punto sobre una función lineal?
- ¿Cuál es la solución particular para el DE no homogéneo [matemáticas] y ” – 3y ‘+ 2y = 4 \ sin ^ 3 (3x) [/ matemáticas]?
- Se coloca un cuerpo de masa m sobre una superficie rugosa con coeficiente de fricción (u) inclinado en ángulo theta. Si la masa está en equilibrio limitante, entonces ¿qué es theta?
- ¿Qué es la adición de cumplido de 1?
- ¿Qué es 9 +10?
[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ dfrac {(x + 1) (1 + x) ^ {n}} {x} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int (1 + x) ^ {n} \, dx + \ int \ dfrac {(1 + x) ^ {n}} {x} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {(1 + x) ^ {n + 1}} {n + 1} + \ int \ dfrac {(x + 1) (1 + x) ^ {n-1}} { x} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {(1 + x) ^ {n + 1}} {n + 1} + \ int (1 + x) ^ {n-1} \, dx + \ int \ dfrac {( 1 + x) ^ {n-1}} {x} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ dfrac {(1 + x) ^ {n + 1}} {n + 1} + \ dfrac {(1 + x) ^ {n}} {n} + \ int \ dfrac {( x + 1) (1 + x) ^ {n-2}} {x} \, dx [/ math]
Llevando de esta manera obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle I = \ dfrac {(1 + x) ^ {n + 1}} {n + 1} + \ dfrac {(1 + x) ^ {n}} {n} + \ dfrac {(1 + x) ^ {n – 1}} {n – 1} +… + x + \ int \ dfrac {1} {x} \, dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ bbox [#AFA] {I = \ dfrac {(1 + x) ^ {n + 1}} {n + 1} + \ dfrac {(1 + x) ^ {n}} {n} + \ dfrac {(1 + x) ^ {n – 1}} {n – 1} +… + x + \ ln (x) + C} [/ matemática]
Segundo método
Si [matemáticas] \ displaystyle | x + 1 | \ leq 1 [/ matemáticas]
Deje [math] \ displaystyle y = x + 1 [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica dy = dx [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ dfrac {-y ^ {n + 1}} {1 – y} \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int -y ^ {n + 1} (1 + y + y ^ 2 + y ^ 3 +…) \, dy [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ int – (y ^ {n + 1} + y ^ {n + 2} + y ^ {n + 3} + y ^ {n + 4} +…) \, dy [/ math ]
[matemáticas] \ displaystyle = – (\ dfrac {y ^ {n + 2}} {n + 2} + \ dfrac {y ^ {n + 3}} {n + 3} + \ dfrac {y ^ {n + 4}} {n + 4} +…) + C [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ bbox [#AFA] {I = – (\ dfrac {(x + 1) ^ {n + 2}} {n + 2} + \ dfrac {(x + 1) ^ {n +3}} {n + 3} + \ dfrac {(x + 1) ^ {n + 4}} {n + 4} +…) + C} [/ matemáticas]
